2019年江苏省十三市中考数学试卷压轴题及详细答案解析

2019年江苏省十三市中考数学试卷压轴题及详细答案解析

2019年江苏省十三市中考数学试卷压轴题及详细答案解析

1．小明从家出发，沿一条直道跑步，经过一段时间原路返回，刚好在第16min回到家中．设小明出发第t min时的速度为vm/min，离家的距离为s m，v与t之间的函数关系如图所示（图中的空心圈表示不包含这一点）．

（1）小明出发第2min时离家距离为 200 m； （2）当2＜t≤5时，求s与t之间函数表达式； （3）画出s与t之间的函数图象．

【分析】（1）根据路程=速度×时间求出小明出发第2min时离家的距离即可；

（2）当2＜t≤5时，离家的距离s=前面2min走的路程加上后面（t﹣2）min走过的路程列式即可；

（3）分类讨论：0≤t≤2、2＜t≤5、5＜t≤6.25和6.25＜t≤16四种情况，画出各自的图形即可求解．

【解答】解：（1）100×2=200（m）． 故小明出发第2min时离家的距离为200m；

（2）当2＜t≤5时，s=100×2+160（t﹣2）=160t﹣120． 故s与t之间的函数表达式为160t﹣120；

（3）s与t之间的函数关系式为，

如图所示：

故答案为：200．

【点评】本题考查了一次函数的应用，主要利用了路程、速度、时间三者之间的关系，读懂题目信息，从图中准确获取信息是解题的关键． 2．（2018年江苏省南京市第26题）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，连接DE．过

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点A作AF⊥DE，垂足为F，⊙O经过点C、D、F，与AD相交于点G． （1）求证：△AFG∽△DFC；

（2）若正方形ABCD的边长为4，AE=1，求⊙O的半径．

【分析】（1）欲证明△AFG∽△DFC，只要证明∠FAG=∠FDC，∠AGF=∠FCD； （2）首先证明CG是直径，求出CG即可解决问题； 【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，∠ADC=90°， ∴∠CDF+∠ADF=90°， ∵AF⊥DE， ∴∠AFD=90°，

∴∠DAF+∠ADF=90°， ∴∠DAF=∠CDF，

∵四边形GFCD是⊙O的内接四边形， ∴∠FCD+∠DGF=180°， ∵∠FGA+∠DGF=180°， ∴∠FGA=∠FCD， ∴△AFG∽△DFC．

（2）解：如图，连接CG．

∵∠EAD=∠AFD=90°，∠EDA=∠ADF， ∴△EDA∽△ADF， ∴

=

，即

=

，

∵△AFG∽△DFC， ∴∴

==

， ，

在正方形ABCD中，DA=DC，

∴AG=EA=1，DG=DA﹣AG=4﹣1=3， ∴CG=

=5，

∵∠CDG=90°，

∴CG是⊙O的直径， ∴⊙O的半径为．

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【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、正方形的性质、圆周角定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．

3．（2018年江苏省南京市第27题）结果如此巧合! 下面是小颖对一道题目的解答．

题目：如图，Rt△ABC的内切圆与斜边AB相切于点D，AD=3，BD=4， 求△ABC的面积．

解：设△ABC的内切圆分别与AC、BC相切于点E、F，CE的长为x． 根据切线长定理，得AE=AD=3，BF=BD=4，CF=CE=x． 根据勾股定理，得（x+3）2+（x+4）2=（3+4）2． 整理，得x2+7x=12． 所以S△ABC=AC?BC =（x+3）（x+4） =（x2+7x+12） =×（12+12） =12．

小颖发现12恰好就是3×4，即△ABC的面积等于AD与BD的积．这仅仅是巧合吗？ 请你帮她完成下面的探索．

已知：△ABC的内切圆与AB相切于点D，AD=m，BD=n． 可以一般化吗？

（1）若∠C=90°，求证：△ABC的面积等于mn． 倒过来思考呢？

（2）若AC?BC=2mn，求证∠C=90°． 改变一下条件……

（3）若∠C=60°，用m、n表示△ABC的面积．

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【分析】（1）由切线长知AE=AD=m、BF=BD=n、CF=CE=x，根据勾股定理得（x+m）2+（x+n）2

=（m+n）2，即x2+（m+n）x=mn，再利用三角形的面积公式计算可得；

（2）由由AC?BC=2mn得（x+m）（x+n）=2mn，即x2+（m+n）x=mn，再利用勾股定理逆定理求证即可；

（3）作AG⊥BC，由三角函数得AG=AC?sin60°=

（x+m），CG=AC?cos60°=（x+m）、

BG=BC﹣CG=（x+n）﹣（x+m），在Rt△ABG中，根据勾股定理可得x2+（m+n）x=3mn，最后利用三角形的面积公式计算可得．

【解答】解：设△ABC的内切圆分别与AC、BC相切于点E、F，CE的长为x， 根据切线长定理，得：AE=AD=m、BF=BD=n、CF=CE=x， （1）如图1，

在Rt△ABC中，根据勾股定理，得：（x+m）2+（x+n）2=（m+n）2， 整理，得：x2+（m+n）x=mn， 所以S△ABC=AC?BC =（x+m）（x+n） = [x2+（m+n）x+mn] =（mn+mn）

=mn，

（2）由AC?BC=2mn，得：（x+m）（x+n）=2mn， 整理，得：x2+（m+n）x=mn， ∴AC2+BC2=（x+m）2+（x+n）2 =2[x2+（m+n）x]+m2+n2 =2mn+m2+n2 =（m+n）2 =AB2，

根据勾股定理逆定理可得∠C=90°；

（3）如图2，过点A作AG⊥BC于点G，

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在Rt△ACG中，AG=AC?sin60°=（x+m），CG=AC?cos60°=（x+m），

∴BG=BC﹣CG=（x+n）﹣（x+m）， 在Rt△ABG中，根据勾股定理可得：[整理，得：x2+（m+n）x=3mn， ∴S△ABC=BC?AG =×（x+n）?===

（x+m）

（x+m）]2+[（x+n）﹣（x+m）]2=（m+n）2，

[x2+（m+n）x+mn] ×（3mn+mn）

mn．

【点评】本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是掌握切线长定理的运用、三角函数的应用及勾股定理及其逆定理等知识点．

4．（2018年江苏省淮安市第26题）如果三角形的两个内角α与β满足2α+β=90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．

（1）若△ABC是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A=60°，则∠B= 15 °； （2）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=5．若AD是∠BAC的平分线，不难证明△ABD是“准互余三角形”．试问在边BC上是否存在点E（异于点D），使得△ABE也是“准互余三角形”？若存在，请求出BE的长；若不存在，请说明理由．

（3）如图②，在四边形ABCD中，AB=7，CD=12，BD⊥CD，∠ABD=2∠BCD，且△ABC是“准互余三角形”，求对角线AC的长．