数形结合思想及其在中学数学中的应用

研究性学习项目论文

题 目：数形结合思想及其在中学数学中的应用

学 院： 师范学院 专 业： 数学与应用数学 姓 名： 王晓慧、李筱蔚、高正、宁云峰 指导教师: 李明兰

2014年 月 日

数形结合思想及其在中学数学中的应用

一、数形结合思想概述

1、具体内容

数形结合是数学研究和学习中的重要思想也是解决数学问题的有效方法，它是连接数学中具体问题与抽象问题之间的纽带，用数形结合方法可以使复杂问题简单化、抽象问题具体化；能够变抽象的数学语言为直观的图形、抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质。

“数”和“形”是数学的两个柱石，数学以现实世界的数量关系和空间形式作为其研究的对象，而数和形是相互联系，也是可以相互转化的。把问题的数量关系与空间形式结合起来考察，或者把数量关系转化成图形的性质问题，或者把图形的性质转化成数量关系问题，这种处理问题的思想与方法就是数形结合的思想方法。

我们通过“以形助数”和“以数辅形”这两个方面分析，可将其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。通过这两大题型的具体分析，揭示出数与形之间的紧密关系，从而把问题优化，获得解决。数形结合这一重要数学思想方法既充分体现了学生的解题思维能力，又为后续的深入的高层次的学习打下基础。 2、内涵

“数形结合”一词正式出现在华罗庚先生于1964年1月撰写的《谈谈与蜂房结构有关数学问题》的科普小册子中，书中有一首小词：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。数无形时少直觉，形少数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事非；切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离！”

“数无形时少直觉，形少数时难入微”形象生动、深刻地指明了“数形结合”思想的价值，也揭示了数形结合思想的本质。在这里，“数”主要指数、数量关系式、

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运算式、函数关系式、方程等，其核心是抽象的代数式、函数解析式、方程；“形”则主要指几何图形与直角坐标系下的函数图象，对于“几何图形”，我们考虑的是几何图形的形状与大小，例如有几条边、几个角、各边之间的位置关系、边的长度与所围图形的面积等度量特征。对于函数图象，我们考虑的是图象的发展趋势、增长（下跌）的快慢、弯曲程度等。

理解抽象的数、数量关系与函数关系式不能脱离直观的图形与图象，同时对几何图形的认识与理解也不能离开从数量上刻画图形的大小、形状，例如边长是4厘米、面积是14平方厘米、两条边成45度角等都是运用“数”来刻画图形的度量特征。对函数图象也需要做“细致入微”的分析，例如，每一点处的坐标是多少、斜率是多少，两点之间的长度是多少等都能通过抽象的公式计算出来。通过“数”与“形”的结合，我们对事物、对规律的把握就能既容易又把握得细微、深刻。

“数形结合”的方法就是把数学问题中的运算、数量关系等与几何图形与图象结合起来进行思考，从而使“数”与“形”各展其长，优势互补，相辅相成，使逻辑思维与形象思维完美的统一起来。 3、实质

数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。 4、数形结合思想的意义

数形结合思想的提出，不仅为几何学的研究提供了新的方法，使得很多难以解决的问题变得简单易解，还为几何学的发展注入了新的活力，为后来建立微积分理论奠定了基础．使得空间几何结构实现了数量化，而数量化了的空间几何结构已不再局限于一维、二维和三维，它可以使n维乃至无穷维.并且可以把曲线看着是由“点”通过运动而生成的，这使人们对形的认识由静态的发展到了动态．数形结合的思想得把复杂问题简单化、抽象问题具体化，让人们更清楚的看清现实世界中的万事万物。

二、应用数形结合思想的解题策略

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数形结合思想在解题教学中发挥了重要的作用，但目前中学生运用数形结合解题的意识不强，以下对此做了相关的思考，并给出了可行的策略。

1.问题提出

数形结合思想的解题功能早已被广大数学教育工作者认同，其理论研究与实践探索也日渐深入，然而我感到数形结合思想的教学并没有真正落实到位，学生在解题过程中暴露出许多问题，主要表现在：

（1）数形结合意识不强，或只进行几何直观的分析，或只进行代数抽象的探索 （2）部分学生有数形结合解题意识，但具体解题是总会出现“会而不对，对而不全”的情况

① 寻找数形结合的突破口有障碍。

寻找突破口，是实现数型转化的前提，也是使用数形结合思想解题的关键，只有找到正确的转化途径，题目才能迎刃而解。 ② 数与形“互译”存在问题。

数与形互译，即当数学问题以代数形式给出时，应借助直观挖掘它的几何意义；当数学问题以几何形式出现时，应注意其代数的抽象意义。事实上，我们的学生不善于完成这种“互译”。 ③数与形“互译”时出现错误。

数与形互译过程中，容易出现错误：数转形时图失真；形换数时不等价等。

2、成因分析

（1）、中学生数形结合解题意识不强

一方面由于激烈的高考竞争，教师疲于展示解题过程，忽视思想方法的渗透；另一方面，可能与数形结合思想本身的特点有关。在一般情况下，运用数形结合思想能使问题简单、只管，但这往往以比较高的思维能力为前提。因此在短时间（特别是在考场上），学生更愿意舍简求繁选择思维难度低的常规法解题。

（2）、寻找数形结合的突破口，除了需要很强的分析问题的能力和扎实的基础知识，还需要有一定的创新能力

调查显示，学生普遍感觉由形到数比由数到形的转化相对容易一些。其原因是，由

形到数是根据图中的位置关系和数量关系进行逻辑推理，属于逻辑思维。而由数到形是一种没有固定模式的创造性思维。 （3）、数与形“互译”存在问题

学生缺乏相应的训练，因而缺少数与形“互译”的经验，即不善于从多方面对知识进行思考。

3、可行的策略

（1）‘引导学生从多个角度认识、分析问题，注重不同数学问题的互译

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