求解高阶行列式的一些常用方法1

1a0x?aa...a0ax?a...a...............0aa...x?an?11a?a...a?1x?2a0...0?10x?2a...0...............?100...x?2an?1

Dn?a...a

（从第2行开始各行都减第1列得到）

?1a?110...0?101...0...............?100?(x?2a)...1n1?nax?2aa010...0001...0...............000...1 ?(x?2a)nx?2aax?2a...ax?2ax?2aax?2a...ax?2a

?(x?2a)(1?nnax?2a)?[x?(n?2)a](x?2a)n?1

显然，当x?2a时上式成立且Dn?0

注5：加边法就是将要计算的n阶行列式适当地添加一行一列（或m行m列）得到一个新的n+1(或n+m)阶行列式，保持行列式的值不变，但要所得的n+1(或n+m)阶行列式较易计算。 8 析因子法

xa1a1xa2...a2a2a2a2x...a3a3..................an?1an?1an?1...xan111...11例6 计算n+1阶行列式Dn?1?a1...a1a1。

解：观察行列式的特点，当x取a1,a2,...an时，行列式都有两行相同，因而此时的行列式的值为零，可将行列式看着关于x的多项式，且此多项式有因式

x?a1,x?a2,...x?an，故可设：

Dn?1?c(x?a1)(x?a2)...(x?an)

nDn?1中x的最高次项为x，系数为1，故c?1，即行列式

Dn?1?c(x?a1)(x?a2)...(x?an)

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注6：如果行列式D中有一些元素是变数x（或某个参变数）的多项式，那么就可以用析因子法将行列式D当作一个多项式f(x)，然后对行列式施行某些变换，求出f(x)的互素的一次因式，使得f(x)与这些因式的乘积g(x)只相差一个常数因子c，根据多项式相等的定义，比较f(x)与g(x)的某一项的系数，求出c值，便可求得行列式的值

D?cg(x)。

参考文献:

[1] 张禾瑞,郝炳新.高等代数[M].高等教育出版社,2007年. [2] 霍元极,寇福来.高等代数[M].北京师范大学出版社,2009年. [3] 李师正.高等代数解题方法[M].高等教育出版社,2004年.

[4] 宁波.高等代数同步辅导及习题全解[M].中国矿业大学出版社,2009年.

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