南开大学数学竞赛练习题08sxjs1

?(x)?a?xf(x),x?(??,??),则f(x)?ax?(x),且不难验证?(x)以T为周期.

1.9.解.设ax?bx?c=a(x??)(x??),0?????1,整数f(0) f(1)=a[?(1??)][? (1??)]?0,二次三项式 x(1?x)在x=1∕2达到最大值1∕4,故1?f(0)f(1)?a2[?(1??)][?(1??)]?222a216,于是a ? 4 .若

2取a = 5,则由0??? = c? a?1,0???? = ?b? a ? 2,b?4ac得c = 1，b = ?5 .我们得多项式5x?5x ? 1,它完全满足条件 .而且可以通过枚举法验证,此解唯一. 1.10.证. 若f?1(x)?f(x),则必有Df?Df?1?Rf.假定有x1?Df使f(x1)?x1 ,不妨设

x1?f(x1),令f(x1)?x2,有x1?x2,且f?1(x2)?x1 .因f?1(x)?f(x),有f(x2)?x1,且f(x1)?f(x2),得x2?x1,导出矛盾,这就证明了命题 .1.11.解.令xn?1.12.解.令yn?n!nnn?1,则xx?n1(1?1)nn ?e?1(n??),得原式?limnxn?1e.n??2axn?axn?a2alimx?lim(,由limx?lim(1?y)?0得limy?1,nnnyn?a)?a . ?ann??n??n??n??n??1.13.解. a ? 0时,limn??xn?1xnn?1?1;a?0且数列{xx}收敛时,其极限的绝对值不超过1 . nn1n?11.14.分析.利用不等式(1?1证明{xn}单调减少有下界. n)?e?(1?n)nn解.(2)因

?k?11k?n1 ?x2n?xn?ln2 ,故lim?k?n?ln2 .n??k?11.15.解.(1)显然xn?0,n∈Ν.其次根据正数算术平均数与几何平均数的不等式,有

n?1xn?1?k?1xn?xbk?k?1b,{xn}有下界k?1b;且xx?nnk

1k?1(k?bk?1xn)?1k?1(k?bb)?1,{xn}单调

减少;因此{xn}收敛 .再由limxn?1?n??1k?1lim(kxn?n??bkxn)可解得limxn?k?1b .n??(2)xn?0,n?N.因xn?1?5?3xn?10?5?5?12（3xn?5）3xn?10?53?5xn?5,limxn?5 .

n??(3)先归纳证明奇数项子列单减有下界0,偶数项子列单增有上界1,两子列均收敛.其次,由递推式两端取极限可解得limx2n?1?limx2n?n??n?? ,因此limxn?n??5?12.

(4)解法1. 0?xn?3,即数列{xn}有界.其次, 2,n?1xn?12xn2?3?xnxn?3xn?1?1,即xn?1?xn,{xn}单调不减,因此{xn}收敛.limxn?32.

n??(5)0

n??1.16.解.a?0时{xn}发散,a?0时{xn}收敛,且limxn?n??a .

1.17.解.(1)limxn?x0?limn??n??n?(xk?0in?1k?1k5 ?xk)?1?lim?(?12)?3.n??k?0n?1(2)xn?2?xn?2xn?11xn?xn?1xn?x2x1?21xn?2????12i?0,limxn?limxn?2?2.

n??n??n?2,tn?2?tn?1?(?1,得limtn?2limxn?32)3，2.

n??n??23(3)令tn?,则tn?2??tn?tn?121.18.解.(1){xn}单调减少有下界,得limxn?0 .

n??n?1(2)limxx?lim(1?xn)?1,lim(xn1?1?x1n)?1,令yn?nn??n??n??1xn?1?1xn,

?ynxn则limy1???limyn?1,limnx1?1,limnx?lim(nx?)?1. nn?1nxn?1n?1n??n??n??n??n??1.19.证.(1)记xn?(1?),yn?n1nn?k?0n1k!, 对正整数m?n, 有

mxn?2??(1?)?(1?1k!1nk?2k?1nk?111 )?2??k!(1?n)?(1?n),k?2固定m,令n??,则由上式得e?ym.又显然ym?xm,由夹挤准则得limym= e .

m??(2)令zn?e?yn,则0?zn?lim????limm??1k!1k!k?0k?0mn1k!m??k?n?1?n?2m,又1k!k?n?1?m?1(n?1)!111[1?n?2?(n?2)2???(n?2)m?n?1]?1(n?1)!?1?11?1(n?1)!?2?nn?1?1n!?1n,

11因此0?zn?n.!?n,令?n?zn?n?n!,则易得0??n?1.命题得证1.20.证.{an}单增.不等式(1)对一切n成立 . 其次,

n?13n?1an?3a1?(3,因此0?2an?1???(2)2)1ann?1n?1?(2,且lim(2?0, 3)3)n??由夹挤准则即得(2) . 1.21.证.{xn}单调不减 .现

k?1(1?aa)k1ak?ak?ak?1ak?1ak?2a0(ak?ak?1)(ak?ak?1)akak?(1?ak?1ak)?(ak?ak?1)akak?1?2(1ak?1?1ak),于是xn?2(1a0?1an)?,数列{xn}有上界,因此收敛 .??

1.22.解.(1)3ln2 . (2)0. (3) 2e . (4)e(6)原式=limx?0sinx?sin(sinx)x3. (5)e?.

x?0x?02x?cos(sinx)1?cos(sinx)cosx?sin(sinx)1?limcosx?cos?lim?lim? 226x6..3x3xx?01.23.解. (1)3 ; (2)1? 7 ; (3)3 ; (4) 1? 7 ; (5)不存在 .

11.24.解.令x?1t,则limf(x)?limf(t)?0,用反证法证明在(??,??)上f(x)?0.

x?0t??1.25.解.因limx?1,原式?limx?0?xxx[(f(x)x)?1]xx?0?f(x)?x22?limexlnx?0??1f(x)?xf(x)x?limxlnf(x)xx?0?f(x)?x?lima?baxln[1?f(x)?x]xx?0?f(x)?x?1 .

xa?b?xb1.26.解.原式=limx(a?xb?a)?limx2?lim(a?xb?a)x?0x?0a?xb?a222a?b?xb2x?0a?xb?a?lim2a?ba?ax?0?=|b|cos∠(a,b)=1 2.1.27.解.用泰勒展开式可得f(0)= ?1及f ’(0)=2 .