2020年春中考数学总复习滚动小专题七解直角三角形的实际应用试题

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滚动小专题(七) 解直角三角形的实际应用

类型1 仰角、俯角问题

1．(2016·茂名)如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆CD的高度，先在教学楼的底端A点处，观测到旗杆顶端C的仰角∠CAD＝60°，然后爬到教学楼上的B处，观测到旗杆底端D的俯角是30°，已知教学楼AB高4米．

(1)求教学楼与旗杆的水平距离AD；(结果保留根号) (2)求旗杆CD的高度．

解：(1)∵教学楼B点处观测到旗杆底端D的俯角是30°， ∴∠ADB＝30°.

在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，∠ADB＝30°，AB＝4 m， ∴AD＝

AB4

＝＝43(m)．

tan∠ADBtan30°

答：教学楼与旗杆的水平距离是43 m.

(2)∵在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，∠CAD＝60°，AD＝43 m， ∴CD＝AD·tan60°＝43×3＝12(m)． 答：旗杆CD的高度是12 m.

2．(2016·湘西)测量计算是日常生活中常见的问题，如图，建筑物BC的屋顶有一根旗杆AB，从地面上D点处观测旗杆顶点A的仰角为50°，观测旗杆底部B点的仰角为45°.(参考数据：sin50°≈0.8，tan50°≈1.2) (1)若已知CD＝20米，求建筑物BC的高度；

(2)若已知旗杆的高度AB＝5米，求建筑物BC的高度．

解：(1)∵∠BDC＝45°，∠BCD＝90°， ∴DC＝BC＝20 m.

答：建筑物BC的高度为20 m. (2)设DC＝BC＝x m，

AC5＋x

根据题意可得tan50°＝＝≈1.2，

DCx

解得x＝25.

答：建筑物BC的高度为25 m.

类型2 方位角问题

3．(2016·菏泽)南沙群岛是我国固有领土，现在我南海渔民要在南沙某海岛附近进行捕鱼作业，当渔船航行至B处时，测得该岛位于正北方向20(1＋3)海里的C处，为了防止某国巡警干扰，就请求我A处的鱼监船前往C处护航，已知C位于A处的北偏东45°方向上，A位于B的北偏西30°的方向上，求A、C之间的距离．

2

1

解：作AD⊥BC，垂足为D，

由题意得，∠ACD＝45°，∠ABD＝30°. 设CD＝x，在Rt△ACD中，可得AD＝x， 在Rt△ABD中，可得BD＝3x.

又∵BC＝20(1＋3)，CD＋BD＝BC， ∴x＋3x＝20(1＋3)． 解得x＝20.

∴AC＝2x＝202(海里)．

答：A、C之间的距离为202海里．

4．(2016·临沂)一艘轮船位于灯塔P南偏西60°方向，距离灯塔20海里的A处，它向东航行多少海里到达灯塔P南偏西45°方向上的B处？(参考数据：3≈1.732，结果精确到0.1)

解：过点P作PC⊥AB，交AB延长线于点C，则AC⊥PC，∠APC＝60°，∠BPC＝45°，AP＝20. 在Rt△APC中，AC＝AP·sin∠APC＝20×∴△PBC为等腰直角三角形． ∴BC＝PC＝10.

∴AB＝AC－BC＝103－10≈7.3(海里)．

答：它向东航行约7.3海里到达灯塔P南偏西45°方向上的B处．

类型3 坡角、坡度(比)问题 5．(2016·济宁)某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC的坡度为1∶1，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面AC的坡度为1∶3. (1)求新坡面的坡角α；

(2)原天桥底部正前方8米处(FB的长)的文化墙FM是否需要拆除？请说明理由．

3

＝103. 2

解：(1)∵新坡面的坡度为1∶3, ∴tanα＝tan∠CAB＝

13＝3. 3

2

1

∴∠α＝30°.

答：新坡面的坡角α为30°. (2)文化墙FM不需要拆除．

过点C作CD⊥AB于点D，则CD＝6.

∵坡面BC的坡度为1∶1，新坡面AC的坡度为1∶3， ∴BD＝CD＝6，AD＝63. ∴AB＝AD－BD＝63－6＜8. ∴文化墙FM不需要拆除．

类型4 与实际生活相关的问题

6．(2016·江西)如图1是一副创意卡通圆规，图2是其平面示意图，OA是支撑臂，OB是旋转臂，使用时，以点A为支撑点，铅笔芯端点B可绕点A旋转作出圆．已知OA＝OB＝10 cm. (1)当∠AOB＝18°时，求所作圆的半径；(结果精确到0.01 cm)

(2)保持∠AOB＝18°不变，在旋转臂OB末端的铅笔芯折断了一截的情况下，作出的圆与(1)中所作圆的大小相等，求铅笔芯折断部分的长度．(结果精确到0.01 cm)(参考数据：sin9°≈0.156 4，cos9°≈0.987 7，sin18°≈0.309 0，cos18°≈0.951 1，可使用科学计算器)

解：(1)过点O作OC⊥AB于点C. ∵OA＝OB，OC⊥AB，

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∴AC＝BC，∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝9°.

2在Rt△AOC中，sin∠AOC＝

2

AC， OA

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∴AC≈0.156 4×10＝1.564. ∴AB＝2AC＝3.128≈3.13. ∴所作圆的半径是3.13 cm.

(2)以点A为圆心，AB长为半径画弧，交OB于点E，作AD⊥OB于点D. ∵AE＝AB，AD⊥BE，

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∴BD＝ED，∠BAD＝∠EAD＝∠BAE.

2∵∠AOB＝18°，OA＝OB，AB＝AE， ∴∠BAE＝18°.∴∠BAD＝9°. BD

在Rt△BAD中，sin∠BAD＝，

AB∴BD≈0.156 4×3.128≈0.489 2. ∴BE＝2BD＝0.978 4≈0.98.

∴铅笔芯折断部分的长度约为0.98 cm.

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