中国科学院大学
2013年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题
科目名称：高等数学（甲）
考生须知：
1．本试卷满分为150分，全部考试时间总计180分钟。
2．所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。
一、
选择题 （本题满分50分，每小题5分。请从题目所列的选项中选择一个正确项填
充空格。每题的四个备选项中只有一个是正确的，不选、错选或多选均不得分。请将你的选择标清题号写在考场发的答题纸上，直接填写在试题上无效。） (1) 函数
的导函数
在
上是连续函数，
, 则函数
一定是 （ ）。
(A) 有界可微函数 (B) 有界连续函数 (C) 连续可微函数 (D) 以上结论都不正确 (2)
＝（ ）。
(A) 1 (B) (3) 函数 (A) (4) 设
(A) (C)
(B)
(C) (D) 在区间
上的最大值是（ ）。 (C)
(D)
，下面四个结论正确的是（ ）。 (B) (D)
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(5) 已知 , 则 （ ）。
(A) 20 (B) 10 (C) 5 (D)不能确定 (6)
( )。
(A) 0 (B) (7) 设
和
(C)
，
(D) 不存在
，为单位圆周
被
和
在(?2,2)区间内可导且
轴正半轴所夹的弧段，则关于弧长的曲线积分
满足 ( )。
(A) (B)
(C) (D) (8) 设二阶线性齐次常系数微分方程的任一解
，则实数
(A) (C) (9) 幂级数
满足 ( )。
(B) (D) 的收敛域是 ( )。
满足当
时
(A) (10) 过
(B) 点且与直线
(C)
及
(D)
都平行的平面方程为
( )。 (A)
(C)
二、(本题满分10分) 计算
(B) (D)
。
满足初始条件
三、 (本题满分10分) 求微分方程
的解。
四、(本题满分10分) 求函数
在区间 上的傅里叶级数。
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五、(本题满分10分) 求曲面积分，其中为由
的上侧（法向量与轴正向夹角为锐角的一侧）及
面。
六、 (本题满分10分) 假设函数 证明
存在, 且不大于
满足
， 。 满足：当
时，
且对于
的下侧围成的有向曲
,
七、(本题满分10分) 设两个连续函数
证明存在唯一的数
使得
。
。
八、(本题满分10分) 证明 。
九、(本题满分10分) 设 十、(本题满分10分) 函数
证明存在
在
上连续,在
，求 内可导.
。
在
和。
, 使得
十一、(本题满分10分) 函数
和
上二阶可导，且对任意
，
成立。
，有
， 证明，对任意
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