必修一
第一章
一、集合与常用逻辑用语
3.若p:3x?8x?4?0，q:(x?1)(x?2)?0，则?p是?q的（ ）． （A）充分条件（B）必要条件（C）充要条件 解析：∵p:3x?8x?4?0，即x?22（D）既不充分又不必要条件
23或x?2，∴?p:23 ∵q:(x?1)(x?2)?0，即x??1或x?2 ≤x≤2．
∴?p是?q的充分条件，但不是必要条件．故选（Ａ）．
∴?q:?1≤x≤2．由集合关系知：?p??q，而
2非q能推出非p
2 4. 若k?R，则“k?3”是“方程
xk?3?yk?3?1表示双曲线”的（ ）．
（A）充分条件（B）必要条件（C）充要条件（D）既不充分又不必要条件
x2 解析：方程
k?3?y2k?3?1表示双曲线?(k?3)(k?3)?0?k?3或k??3．故选（A）．
二、集合与函数
5.已知集合P?{yy??x?2，x?R}，Q?{xy??x?2，x?R}，那么P?Q等于（ ）． （A）（0，2），（1，1）（B）｛（0，2），（1，1）｝（C）｛1，2｝（D）{yy≤2}
222 解析：由代表元素可知两集合均为数集，又P集合是函数y??x?2中的y的取值范围，故P集合的实质是函数y??x?2的值域．而Q集合则为函数y??x?2的定义域，从而易知P?Q?{yy≤2}，选（D）．
评注：认识一个集合，首先要看其代表元素，再看该元素的属性，本题易因误看代表元素而错选（Ｂ）或（Ｃ）． 三、集合与方程
6.已知A?{xx?(p?2)x?1?0，x?R}，B?{xx?0}，且A?B??，求实数p的取值范围． 解析：集合A是方程x?(p?2)x?1?0的解集， 则由A?B??，可得两种情况：
①A??，则由??(p?2)?4?0，得 ?4?p?0； ②方程x?(p?2)x?1?0无正实根，因为x1x2?1?0，
2222??≥0，则有?于是p≥0
?(p?2)?0，? 综上，实数p的取值范围为{pp??4}． 四、集合与不等式
7. 已知集合A?{aax2?4x?1≥?2x2?a恒成立}，B?{xx2?(2m?1)x?m(m?1)?0}， 若A?B??，求实数m的取值范围．
解析：由不等式ax?4x?1≥?2x?a恒成立， x?可得 (a?2)2224x?a(?≥1)， 0 （※）
（1）当a?2?0，即a??2时，（※）式可化为x≥34，显然不符合题意．
?a?2?0， （2）当a?2?0时，欲使（※）式对任意x均成立，必需满足?
??≤0，?a??2，即?
24?4(a?2)(a?1)≤0，? 解得 A?{aa≥2}．
2 集合B是不等式x?(2m?1)x?m(m?1)?0的解集， 可求得B?{xm?x?m?1}，
结合数轴，只要m?1?2即可，解得 m?1． 五、集合与解析几何
例6 已知集合A?{(x，y)x?mx?y?2?0}和B?{(x，y)x?y?1?0，0≤x≤2}， 如果A?B??，求实数m的取值范围．
解析：从代表元素(x，y)看，这两个集合均为点集，又x?mx?y?2?0及x?y?1?0是两个曲线方程，故A?B??的实质为两个曲线有交点的问题，我们将其译成数学语言即为：“抛物线x?mx?y?2?0与线段x?y?1?0(0≤x≤2)有公共点，求实数m的取值范围．”
222?x?mx?y?2?0， 由?，得
?x?y?1?0(0≤x≤2)，0(0≤x x?(m?1)x?1?≤22， 2 ) ①
∵A?B??，
∴方程①在区间［0，2］上至少有一个实数解．
首先，由??(m?1)?4≥0，得m≥3或m≤?1．
当m≥3时，由x1?x2??(m?1)?0及x1x2?1知，方程①只有负根，不符合要求；
当m≤?1时，由x1?x2??(m?1)?0及x1x2?1?0知，方程①有两个互为倒数的正根，故必有一根在区间(0，1]内，从而
2方程①至少有一个根在区间［0，2］内．
综上，所求m的取值范围是(??，?1]．
第二章、函数
1．数形结合法。
1例1（09.江西） 求方程|x-1|=x的正根的个数.
y11【解】 分别画出y=|x-1|和y=x的图象，由图象可知两者有唯一交点，所以方程有一个正根。
例2 （2010.广西模拟） 求函数f(x)=【解】 f(x)=
(x21 x x24?3x(x22?6x?13??1)2x24?x2?1的最大值。
?2)2?(x?3)??(x?0)，记点P(x, x-2)，A（3，2），B（0，1），则f(x)表示动点P到点A
和B距离的差。
因为|PA|-|PA|≤|AB|=所以f(x)max=10.
2.函数性质的应用。
32?(2?1)2?10,当且仅当P为AB延长线与抛物线y=x2的交点时等号成立。
??(x?1)?1997(x?1)??1?3?(y?1)?1997(y?1)?1?例3 （10、全国） 设x, y∈R，且满足，求x+y.
2【解】 设f(t)=t3+1997t，先证f(t)在（-∞，+∞）上递增。事实上，若a
由题设f(x-1)=-1=f(1-y)，所以x-1=1-y，所以x+y=2.
例4 （10、全国） 奇函数f(x)在定义域（-1，1）内是减函数，又f(1-a)+f(1-a2)<0，求a的取值范围。 【解】 因为f(x) 是奇函数，所以f(1-a2)=-f(a2-1)，由题设f(1-a) 例5 （10、全国） 设f(x)是定义在（-∞，+∞）上以2为周期的函数，对k∈Z, 用Ik表示区间(2k-1, 2k+1]，已知当x∈I0时，f(x)=x2，求f(x)在Ik上的解析式。 【解】 设x∈Ik，则2k-1 又因为f(x)是以2为周期的函数， 所以当x∈Ik时，f(x)=f(x-2k)=(x-2k)2. 例6 （10·全国） 解方程：(3x-1)( 9x2?6x?5?1)+(2x-3)( 4x2?12x?13+1)=0. 【解】 令m=3x-1, n=2x-3，方程化为 m( m2?4+1)+n( n2?4+1)=0. ① 若m=0，则由①得n=0，但m, n不同时为0，所以m?0, n?0. ⅰ)若m>0，则由①得n<0，设f(t)=t( t2?4+1),则f(t)在（0，+∞）上是增函数。又f(m)=f(-n)，所以m=-n，所以3x-1+2x-3=0，所以 .5x= 4ⅱ)若m<0，且n>0。同理有m+n=0,x=5,但与m<0矛盾。 4.5综上，方程有唯一实数解x= 3.配方法。 例7 （经典例题） 求函数y=x+ 2x?1的值域。 41【解】 y=x+ 2x?1=2[2x+1+2 2x?1+1]-1 1=2( 112x?1+1)-1≥2-1=-2. 111当x=-2时，y取最小值-2，所以函数值域是[-2，+∞）。 4．换元法。 例8 （经典例题） 求函数y=(1?x+1?x+2)(1?x2+1),x∈[0,1]的值域。 2?2u?2≤ u2【解】令1?x+1?x=u，因为x∈[0,1]，所以2≤u2=2+21?x2≤4,所以 2≤u≤2,所以 22≤2，1≤2≤2， u?2所以y= 2,u2∈[ 2+2，8]。 2，8]。 所以该函数值域为[2+5．判别式法。
相关推荐：
loading