几代复习指导 目 录
行列式 矩阵的运算
矩阵的初等变换和矩阵的秩 向量组的线性相关性和向量组的秩 线性方程组
相似矩阵和矩阵的特征值、特征向量实对称矩阵和二次型 空间解析几何
第一部分 第二部分 第三部分 第四部分 第五部分 第六部分 第七部分 第八部分
第一部分 行列式
一．定义
1．定义 设A?aij??n?n，则A?i1,i2?in?(?1)?(i1,i2?in)a1i1a2i2?anin
是n!项代数和；不同行，不同列；正、负号。
【例1】
a32a24a13a42是不是4阶行列式中展开式中的项，正、负号是什么？
不是
【例2】
5x123xx12中x3,x4的系数。?5x3,10x4
12x3x122x2．注：（1）. 对角线法则一般地不再成立。举例。 （2）. 记住上、下三角阵的行列式。 二．性质
1． 性质
（1） 行列式的基本性质； （2） 按行（列）展开； （3） 乘法定理。 2． 需记住的结果：
（1） Vandermonde行列式；
（2） 分块上、下三角阵的行列式。 3． 例：
【例3】
已
知
A3????3??，1?2B3?3???1??22?2?3?3?2?2?3?，A?2，求B。
B??1??2?7?3?2?2?3??1??2?7?3?2??1?7?3?2?7A?14
?120??200?????3?1【例4】已知A??561?,B??350?。求AB。
?350??461?????4． 注：
2
（1） 矩阵的加法、数乘之后的行列式； （2） 容易出现的错误：
27352r?7r23210?11； 27352r?2/7r0*2?7r1,r120*; （3） 分块矩阵的行列式.
三．计算
1． 典型方法：
（1） 化成低阶行列式； （2） 化成三角形行列式。
2． 注：很少直接用定义计算；应先化简，后计算。 3． 例
【例5】
13141516；
2013【例6】
3?1210231； 23141??1111【例7】
11??211111??31，?1,?2,?3,?4均不为零；1111??41?a1?1【例8】
22?a?2????；
nn?n?a123?n?1nn12?n?2n?1【例9】
n?1n1?n?3n?2??????；
345?12234?n1 3
ab?bca?b【例10】Dn?；
????cc?a
第二部分 矩阵的运算
一．矩阵的乘法
1． 运算规律
?12????2?1?【例1】?23???，
?01??01????3??3????1?120????，?1??210?， ?2??2???????3??????1210??????。 ??2??????【例2】假设e是n维非零列向量，A?E?ee。证明：A是对称矩阵，
且A?A?ee?1。
2． 应当注意的问题
（1） 矩阵记号与行列式记号的差别；
（2） 单位矩阵（用E或I表示）的每个元素都等于1吗？ 不是 （3） 矩阵乘法含有非零零因子，因而乘法消去律不成立；
2TTn?01???0??。 【例3】 N????1???0??【例4】 As?n满足满足什么条件时，由AB?AC就能推出B?C？ r?As?n??n
（4） 矩阵乘法不可交换，因而一些代数恒等式不再成立。
4
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