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第十六届全国中学生物理竞赛复赛试题
全卷共六题，总分为140分。
一、（20分）一汽缸的初始体积为V0，其中盛有2mol的空气和少量的水（水的体积可以忽略）。平衡时气体的总压强是3.0atm，经做等温膨胀后使其体积加倍，在膨胀结束时，其中的水刚好全部消失，此时的总压强为2.0atm。若让其继续作等温膨胀，使体积再次加倍。试计算此时：
1.汽缸中气体的温度；
2.汽缸中水蒸气的摩尔数； 3.汽缸中气体的总压强。
假定空气和水蒸气均可以当作理想气体处理。 二、（25分）两个焦距分别是f1和f2的薄透镜L1和L2，相距为d，被共轴地安置在光具座上。 1. 若要求入射光线和与之对应的出射光线相互平行，问该入射光线应满足什么条件？ 2. 根据所得结果，分别画出各种可能条件下的光路示意图。 三、（25分）用直径为1mm的超导材料制成的导线做成一个半径为5cm的圆环。圆环处于超导状态，环内电流为100A。经过一年，经检测发现，圆环内电流的变化量小于10－6A。试估算该超导材料电阻率数量级的上限。
提示：半径为r的圆环中通以电流I后,圆环中心的磁感应强度为B??0I2r ,式中B、I、
r各量均用国际单位，?0?4??10－7N?A－2。
四、（20分）经过用天文望远镜长期观测，人们在宇宙中已经发现了许多双星系统，通过对它们的研究，使我们对宇宙中物质的存在形势和分布情况有了较深刻的认识。双星系统由两个星体构成，其中每个星体的线度都远小于两星体之间的距离。一般双星系统距离其他星体很远，可以当作孤立系统处理。
现根据对某一双星系统的光度学测量确定，该双星系统中每个星体的质量都是M，两者相距L。他们正绕两者连线的中点作圆周运动。1. 试计算该双星系统的运动周期T计算。2. 若实验上观测到的运动周期为T观测，且T观测:T计算?1:N(N?1)。为了解释T观测与T计算的不同，目前有一种流行的理论认为，在宇宙中可能存在一种望远镜观测不到的暗物质。作为一种简化模型，我们假定在这两个星体连线为直径的球体内均匀分布着这种暗物质，而不考虑其它暗物质的影响。试根据这一模型和上述观测结果确定该星系间这种暗物质的密度。 五、（25分）六个相同的电阻（阻值均为R）连成一个电阻环，六个接点依次为1、2、3、4、5和6，如图复16-5-1所示。现有五个完全相同的这样的电阻环，分别称为D1、D2、┅D5。
现将D2的1、3、5三点分别与D1的2、4、6三点用导线连接，如图复16-5-2所示。然后将D3的1、3、5三点分别与D2的2、4、6三点用导线连接，┅依此类推。最后将D5的1、3、5三点分别连接到D4的2、4、6三点上。
1．证明全部接好后，在D1上的1、3两点间的等效电阻为2．求全部接好后，在D5上的1、3两点间的等效电阻。
724R。 6271 / 12
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六、（25分）如图复16-6所示，z轴竖直向上，xy平面是一绝缘的、固定的、刚性平面。在A(x0,0,0)处放一带电量为?q(q?0)的小物块，该物块与一细线相连，细线的另一端B穿过位于坐标原点O的光滑小孔，可通过它牵引小物块。现对该系统加一匀强电场，场强方向垂直与x轴，与z轴夹角为?（如图复16-6所示）。设小物块和绝缘平面间的摩擦系数为??tan?,且静摩擦系数和滑动摩擦系数相同。不计重力作用。现通过细线来牵引小物块，使之移动。在牵引过程中，我们约定：细线的B端只准沿z轴向下缓慢移动，不得沿z轴向上移动；小物块的移动非常缓慢，在任何时刻，都可近似认为小物块处在力平衡状态。若已知小物块的移动轨迹是一条二次曲线，试求出此轨迹方程。
第十六届全国中学生物理竞赛复赛题参考解答
一、参考解答
1 只要有液态水存在，平衡时汽缸中气体的总压强就等于空气压强与饱和水蒸气压强之和：
p总0?p空0?p饱?3.0atm（1）
第一次膨胀后V1?2V0
p总1?p空1?p饱?2.0atm（2）
由于第一次膨胀是等温过程，所以
p空0V0?p空1V1?2p空1V0（3）
解（1）、（2）、（3）三式，得
p饱?1.0atm（4）
p空0?2.0atm（5） p空1?1.0atm（6）
由于p饱?1.0atm，可知汽缸中气体的温度
2 / 12
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T0?373K（7）
根据题意，经两次膨胀，气体温度未改变。
2 设水蒸气为?水mol．经第一次膨胀，水全部变成水蒸气，水蒸气的压强仍为p饱，这时对于水蒸气和空气分别有
p饱V1??水RT0（8） p空1V1??空RT0?2RT0（9）
由此二式及（5）、（6）式可得
?水?2mol（10）
3. 在第二次膨胀过程中，混合气体可按理想气体处理，有
p总2V2?p总1V1（11）
由题意知，V2?4V0，V1?2V0，再将（2）式代入，得
p总2?1.0atm（12）
二、参考解答
l．在所示的光路图（图复解16-2-1）中，人射光AB经透镜L1折射后沿BC射向L2，经L2折射后沿CD出射．AB、BC、CD与透镜主轴的交点分别为P、P?和P??，如果P为物点，因由P沿主轴射向O1的光线方向不变，由透镜性质可知，P?为P经过L1所成的像，P??为P?经L2所成的像，因而图中所示的u1、v1、u2、v2之间有下列关系：
111??（1） u1v1f1111??（2） u2v2f23 / 12
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