（2）将频率视为概率，现在从该校高一学生中用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽取的3人中“文科方向”的人数为?，若每次抽取的结果是相互独立的，求?的分布列、期望E???和方差
D???.
n?ad?bc?2参考公式：K?，其中n?a?b?c?d.
?a?b??c?d??a?c??b?d?参考临界值：
2P?K2?k0? 0.10 k0 2.706 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）列联表见解析，有；（2）分布列见解析，【解析】 【分析】
618. ，
525（1）由频率分布直方图可得分数在?60,80?、?80,100?之间的学生人数，可得列联表.根据列联表计算K2的值，结合参考临界值表可得到结论；
（2）从该校高一学生中随机抽取1人，求出该人为“文科方向”的概率p.由题意?~B?3,p?，求出分布列，根据公式求出期望和方差. 【详解】
（1）由频率分布直方图可得分数在?60,80?之间的学生人数为0.0125?20?200＝50，在?80,100?之间的学生人数为0.0075?20?200＝30，所以低于60分的学生人数为120.因此列联表为 男 女 总计 理科方向 80 40 120 文科方向 30 50 80 2总计 110 90 200 200??80?50?30?40?又K2??16.498?6.635，
120?80?110?90所以有99%的把握认为是否为“文科方向”与性别有关.
（2）易知从该校高一学生中随机抽取1人，则该人为“文科方向”的概率为p?802?. 2005i3?i?2?22????依题意知?~B?3,?，所以P???i??Ci3???1??（i?0,1,2,3），所以?的分布列为
5???5??5?? P 0 1 2 3 27 12554 12536 1258 125所以期望E????np?3?【点睛】
2?2?1826?，方差D????np?1?p??3???1???.
5?5?2555本题考查独立性检验，考查离散型随机变量的分布列、期望和方差，属于中档题.
21．某保险公司给年龄在20?70岁的民众提供某种疾病的一年期医疗保险，现从10000名参保人员中随机抽取100名作为样本进行分析，按年龄段?20,30?,?30,40?,?40,50?,?50,60?,?60,70?分成了五组，其频率分布直方图如下图所示；参保年龄与每人每年应交纳的保费如下表所示. 据统计，该公司每年为这一万名参保人员支出的各种费用为一百万元.
年龄 （单位：岁） 保费 （单位：元） ?20,30? x ?30,40? 2x ?40,50? 3x ?50,60? ?60,70? 5x 4x （1）用样本的频率分布估计总体分布，为使公司不亏本，求x精确到整数时的最小值x0；
（2）经调查，年龄在?60,70?之间的老人每50人中有1人患该项疾病(以此频率作为概率).该病的治疗费为
12000元，如果参保，保险公司补贴治疗费10000元.某老人年龄66岁，若购买该项保险(x取?1?中的x0).
针对此疾病所支付的费用为X元；若没有购买该项保险，针对此疾病所支付的费用为Y元.试比较X和Y的期望值大小，并判断该老人购买此项保险是否划算？ 【答案】（1）30；（2）E(Y)?E(X)，比较划算.
【解析】 【分析】
（1）由频率和为1求出a?0.032，根据a的值求出保费的平均值3.35x，然后解一元一次不等式
3.35x?100 即可求出结果，最后取近似值即可；
（2）分别计算参保与不参保时的期望E(X)，E(Y)，比较大小即可. 【详解】
解:（1）由?0. 007?0.016?a?0.025?0.020??10?1， 解得a?0.032.
保险公司每年收取的保费为:
10000?0.07x?0.16?2x?0.32?3.x?0.25?4x?0.20?5x??10000?3.35x
∴要使公司不亏本，则10000?3.35x?1000000，即3.35x?100 解得x?100?29.85, 3.35∴x0?30.
（2）①若该老人购买了此项保险，则X的取值为150, 2150.
Q P?X?150??∴E(X)?150?491,P?X?2150?? 5050491?2150??147?43?190(元). 5050②若该老人没有购买此项保险，则Y的取值为0. 12000.
QP?Y?0??∴E(Y)?0?491,P?Y?12000?? 5050491?12000??240(元). 5050QE(Y)?E(X)
∴年龄为66的该老人购买此项保险比较划算. 【点睛】
本题考查学生利用相关统计图表知识处理实际问题的能力，掌握频率分布直方图的基本性质，知道数学期望是平均数的另一种数学语言，为容易题.
22．如图所示，在三棱锥A?BCD中，AB?BC?BD?2，AD?23，?CBA??CBD?为AD中点．
?2，点E
（1）求证：平面ACD?平面BCE；
（2）若点F为BD中点，求平面BCE与平面ACF所成锐二面角的余弦值． 【答案】（1）答案见解析．（2）【解析】 【分析】
（1）通过证明BC⊥平面ABD，证得BC?AD，证得BE?AD，由此证得AD?平面BCE，进而证得平面ACD?平面BCE.
（2）建立空间直角坐标系，利用平面BCE和平面ACF的法向量，计算出平面BCE与平面ACF所成锐二面角的余弦值. 【详解】
（1）因为?CBA??CBD?531 31?2，所以BC⊥平面ABD，
因为AD?平面ABD，所以BC?AD．
因为AB?BD，点E为AD中点，所以BE?AD． 因为BCIBE?B，所以AD?平面BCE．
因为AD?平面ACD，所以平面ACD?平面BCE．
（2）以点B为坐标原点，直线BC,BD分别为x轴，y轴，过点B与平面BCD垂直的直线为z轴，建立
?13?EA0,?1,3D0,2,0空间直角坐标系，则B?0,0,0?，，C?2,0,0?，??，??0,2,2??，F?0,1,0?， ????uuuruuur?13?uuuuuurrBC??2,0,0?，BE???0,2,2??，CF???2,1,0?，AF?0,2,3，
????v?2x1?0,vuuur?n?BC?0,?v 设平面BCE的一个法向量n??x1,y1,z1?，则?vuuu即?13n?BE?0,z1?0,??y1?2?2r取z1?1，则x1?0，y1??3，所以n?0,?3,1，
??uuuvvur?m?AF?0,??2y2?3z2?0,v 设平面ACF的一个法向量m??x2,y2,z2?，则?vuuu即??m?CF?0,???2x2?y2?0,ur??33?,?3,2?取z2?2，则x2??，y2??3，所以m??， ??22??设平面BCE与平面ACF所成锐二面角为?，
rur则cos??cosn?m??3?0??????3??3?1?22??????02??3?12??22?3?2?????3?2?2?2???531． 31所以平面BCE与平面ACF所成锐二面角的余弦值为
531． 31
【点睛】
本小题主要考查面面垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题. 23．以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单
?x?cos2????C:?sin????2C:位，建立极坐标系，已知曲线1，曲线2?（?为参数），求曲线C1，C2??4???y?sin?交点的直角坐标. 【答案】??1,?1? 【解析】 【分析】
利用极坐标方程与普通方程、参数方程间的互化公式化简即可. 【详解】 因为?sin??????????2，所以?sin???cos???2， 4?所以曲线C1的直角坐标方程为x?y?2?0.
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