第一章 数字信号处理基本概念
y(n)?1M1?M2?1k??M?x(n?k)?
1M2
1M1?M2?1[x(n?M1)?x(n?M1?1)???
[x(n)?x(n?1)???x(n?M2)]
该系统计算输出序列的第n个样本时是将其作为输入序列第n个样本前后的(M1?
M2?1)个样本的平均。
求：（1）该系统的冲激响应h(n)； （2）求该系统的频率响应； （3）对M1?0，M2?4，求H(e形。
解： （1）h(n)?1M1?M2j?)和argH(ej?)，并用MATLAB画出其图
?1k??M??(n?k)
1M21????M1?M2?1?0?1??（2）因为 h(n)??M1?M2?1?0?,?M1?n?M2,其他
,?M1?n?M2,其他
因此频率响应就是
H(ej?)?1M1?M?a2?1?M?e1M2?j?n
利用等比级数求和公式 可以得到：
H(ej??n?N1N2ak?aN1N2?11?a
)?1M1?M2e?1j?M1?e?j?(M2?1)?j??e?j?(M2?M1)/22sin[?(M1?M2?1)/2]1?eM1?M?1sin(?/2)
（3）当M1?0，M2?4时，
j?H(e)?1sin(5?/2)5sin(?/2)，argH(ej?)??2?
1-13
第一章 数字信号处理基本概念
利用MATLAB画出其频率响应图： 由 H(ej?)?1M1?M2?11M1?M2?1ej?M1?e?j?(M2?1)?j?1?ezM1
得 H(z)?所以MATLAB程序如下：
M1=0; M2=4; X=1/(M1+M2+1); b=[X zeros(1,M2) -X]; a=[1 -1];
OMEG=-pi:pi/100:pi; H=freqz(b,a,OMEG);
subplot(2,1,1),plot(OMEG,abs(H));
?z?(M2?1)?11?z
subplot(2,1,2),plot(OMEG,180/pi*unwrap(angle(H)));
运行结果如题1-12图所示：
题1-12图 频率响应曲线图
1-13 设某线性时不变离散系统的差分方程为y(n?1)?10y(n)?y(n?1)?x(n)，试求它的 3单位脉冲响应。并讨论其因果性和稳定性，并用MATLAB计算，与理论值进行比较。 解：y(n?1)?103y(n)?y(n?1)?x(n)
对上式两边取 Z变换，得到：
z?1Y(z)?10Y(z)?zY(z)?X(z) 31-14
第一章 数字信号处理基本概念
H(z)?z?1?1103??zz?2z103?z?1(z?z13)(z?3)
????3?11? ????11?8?1?3z1?z?1??3??极点：zp1?13，zp2?3
当ROC：z?3时，系统因果不稳定，h(n)?133?[3n?3?n]u(n)； 838?[3u(?n?1)???3?u(n)]；
n?n当ROC：?z?3时，系统非因果稳定，h(n)?1338当ROC：z?时，系统非因果不稳定，h(n)??[3?n?3]u(?n?1)。
n1-14 给定下述系统的差分方程，试判定系统是否是因果、稳定系统，并说明理由，如果是
稳定系统，通过MATLAB画出其零极点图。
1（1）y(n)?N?x(n?k)
k?0N?1（2）y(n)?x(n)?x(n?1) （3）y(n)?x(n?n0)
解： （1）只要N?1，该系统就是因果系统，因为输出只与n时刻的和n时刻以前的输入
有关。如果x(n)?M，y(n)?M，因此系统是稳定系统。 MATLAB画出零极点,如题1-14图(a)所示： N0=100;
X=N0-1;
b=[1 zeros(1,X-1) -X]; a=[1 -1]; zplane(b,a);
1-15
第一章 数字信号处理基本概念
题1-14图(a) 零极点示意图
（2）该系统是非因果系统，因为n时刻的输出还和n时刻以后的输入有关。如果x(n)?M，则y(n)?x(n)?x(n?1)?2M，因此系统是稳定系统。
MATLAB画出零极点图如下： b=[1 1]; a=[1 0]; zplane(b,a);
题1-14图(b) 零极点示意图
（3）系统是非因果系统，因为n时刻输出和n时刻以后的输入有关。如果x(n)?M，y(n)?M，因此系统是稳定的。
1-15 求下列单位脉冲响应的Z变换及收敛域，用MATLAB画出零极点分布图。
)0.(() （1）、2nun （2）、ej?0no(su(n) （3）、c1-16
)?(0)nun
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