2020届高考理科数学全优二轮复习训练：小题专项训练13

小题专项训练13 数 列

一、选择题

1．已知等比数列{an}中，a2＝1，a6＝4，则a3a4a5＝( ) A．8 C．16 【答案】A

【解析】由等比数列的性质可知a2a6＝a24＝4，而a2，a4，a6同号，所以a4＝2，则a3a4a5

＝a34＝8.

2．(2019年北京丰台区二模)已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和．若a2＝2，S9＝9，则a8＝( )

2A．

3C．0 【答案】C

a＝a＋d＝2，??2117

【解析】设{an}的公差为d，则?解得d＝－，a1＝，所以a8＝9×833

??S9＝9a1＋2d＝9，a1＋7d＝0.

3．(2019年湖南邵阳模拟)等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a2a3＝2a1，且a4与2a7的5

等差中项为，则S5＝( )

4

A．29 C．33 【答案】B

3

【解析】设等比数列{an}的公比为q，因为a2a3＝2a1，所以a21q＝2a1①.因为a4与2a7的

B．±8 D．－16

1

B．

31D．－

3

B．31 D．36

5551

等差中项为，所以a4＋2a7＝，即a1q3＋2a1q6＝②.联立①②解得a1＝16，q＝，所以S5＝

4222a1?1－q5?

＝31. 1－q

4．已知等比数列{an}的公比为q，则“0＜q＜1”是“{an}为递减数列”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D

111

【解析】可举例a1＝－1，q＝，得数列的前几项依次为－1，－，－，…，显然不是

224

递减数列，故由“0＜q＜1”不能推出“{an}为递减数列”；可举例等比数列－1，－2，－4，－8，…，显然为递减数列，但其公比q＝2，不满足0＜q＜1.故选D．

5．朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人．每人日支米三升，共支米四百三石九斗二升，问筑堤几日”．其大意为：官府陆续派遣1 864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始，每天派出的人数比前一天多7人．修筑堤坝的每人每天分发大米3升，共发出大米40 392升，问修筑堤坝多少天？”在这个问题中，第5天应发大米( )

A．894升 C．1 275升 【答案】B

【解析】由题意知每天派出的人数构成首项为64，公差为7的等差数列，则第5天的总5×4人数为5×64＋×7＝390，所以第5天应发大米390×3＝1 170升．

2

?n＋1?an

6．(2019年湖南岳阳一模)已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝，则a2 019

2＝( )

A．2 018 C．4 036 【答案】B

?n＋1?an

【解析】∵a1＝1，Sn＝，

2∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝

?n＋1?annan－1anan－1

－，即＝. 22nn－1

B．2 019 D．4 038 B．1 170升 D．1 467升

anan－1a1

∴＝＝…＝＝1.∴an＝n.∴a2 019＝2 019. nn－11

7．已知数列{an}的前n项和为Sn，且2，Sn，an成等差数列，则S17＝( ) A．0 C．2 【答案】C

【解析】由2，Sn，an成等差数列，得2Sn＝an＋2，① 即2Sn＋1＝an＋1＋2.② ②－①，an＋1

整理得＝－1.又2a1＝a1＋2，∴a1＝2.∴数列{an}是首项为2，公比为－1的等比数列，∴

an2×[1－?－1?17]S17＝＝2.

1＋1

8．若{an}是等差数列，首项a1＞0，a2 017＋a2 018＞0，a2 017·a2 018＜0，则使前n项和Sn＞0成立的最大正整数n是( )

A．2 017

B．2 018 B．－2 D．34

C．4 034 【答案】C

D．4 035

【解析】∵a1＞0，a2 017＋a2 018＞0，a2 017·a2 018＜0，∴d＜0，a2 017＞0，a2 018＜0，∴S4 034

＝

4 034?a1＋a4 034?4 034?a2 017＋a2 018?4 035?a1＋a4 035?

＝＞0，S4 035＝＝4 035a2 018＜0，∴使前n

2229．(2019年江西南昌二模)数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n(n∈N*)，若p－q＝5，则ap

－aq＝( )

A．－5 C．15 【答案】D

【解析】当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－3n－2(n－1)2＋3n－3＝4n－5.a1＝S1＝－1适合上式，所以an＝4n－5.所以ap－aq＝4(p－q)．因为p－q＝5，所以ap－aq＝20.

10．已知数列{an}中，a1＝a，an＋1＝3an＋8n＋6，若{an}为递增数列，则实数a的取值范围为( )

A．(－7，＋∞) C．(3,7) 【答案】A

an＋1＋4?n＋1?＋5【解析】由an＋1＝3an＋8n＋6，得an＋1＋4(n＋1)＋5＝3(an＋4n＋5)，即＝an＋4n＋53，∴数列{an＋4n＋5}是首项为a＋9，公比为3的等比数列．∴an＋4n＋5＝(a＋9)3n1，即an＝(a＋9)3n1－4n－5.∴an＋1＝(a＋9)3n－4n－9.∵数列{an}为递增数列，∴an＋1>an，即(a＋9)3n－4n－9>(a＋9)·3n1－4n－5，即(a＋9)3n>6恒成立．∵n∈N*，

6

∴a＋9>＝2恒成立，解得a>－7.故选A．

3

311

11．等比数列{an}的首项为，公比为－，前n项和为Sn，则当n∈N*时，Sn－的最大22Sn

值与最小值的比值为( )

7

A．－

1210C．

7【答案】B

3??－1?n?1－?2??2?11

－?n.当n为奇数时，Sn＝1＋??n，n≥1，则【解析】根据题意，Sn＝＝1－??2??2?1??－1－?2?1?n3333

有1＜Sn≤；当n为偶数时，Sn＝1－?，n≥2，则有≤Sn＜1.∴≤Sn≤，且Sn≠1.设Sn

?2?2442

10

B．－

75D． 6

－

－

－

项和Sn＞0成立的最大正整数n是4 034.

B．10 D．20

B．(－5，＋∞) D．(5,7)

3??3?111

＝t，f(t)＝Sn－＝t－，则f′(t)＝1＋2＞0，∴f(t)在区间??4，1?和?1，2?上都是增函数，∴Sntt3?51?3?＝－7，则Sn－1的最大值与最小值的比值为－10. Sn－的最大值为f?＝，最小值为f?2?6?4?Sn12Sn7

x??2－1，x≤0，

12．已知函数f(x)＝?把函数g(x)＝f(x)－x的零点按从小到大的顺序

?f?x－1?＋1，x＞0，?

排列成一个数列{an}，则该数列的通项公式为( )

n－1

A．an＝

2 C．an＝(n－1)2 【答案】B

【解析】当x≤0时，令f(x)＝x，即2x－1＝x，解得x＝0；当0＜x≤1时，令f(x)＝x，即f(x－1)＋1＝x，即f(x－1)＝x－1，故x－1＝0，解得x＝1；当n－1＜x≤n时，令f(x)＝x，即f(x－1)＋1＝x，即f(x－2)＋2＝x，即f(x－3)＋3＝x，…，即f(x－n)＋n＝x，即f(x－n)＝x－n，故x－n＝0，解得x＝n.故g(x)＝f(x)－x的零点为0,1,2,3,4,5，…，n－1，…，所以其通项公式为an＝n－1.故选B．

二、填空题

13．设公差不为零的等差数列{an}满足a1＝3，a4＋5是a2＋5和a8＋5的等比中项，则a10

＝________.

【答案】75

【解析】设等差数列{an}的公差为d，由已知可得(a4＋5)2＝(a2＋5)(a8＋5)，∴(8＋3d)2＝(8＋d)(8＋7d)．∵d≠0，∴d＝8，∴a10＝a1＋9d＝75.

14．(2019年江苏无锡一模)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3，S9，S6成等差数列，且a2＋a5＝4，则a8的值为________．

【答案】2

【解析】设公比为q，当q＝1时显然不符合题意，则由题意得a1?1－q9?a1?1－q3?a1?1－q6???2×＝＋，111－q1－q1－q得a1q＝8，q3＝－，∴a8＝a1q7＝(a1q)(q3)2＝8×＝?24?4

?a1q＋a1q＝4，2.

n

15．(2019年陕西西安一模)已知数列{an}的通项公式an＝log2(n∈N*)，设其前n项和

n＋1为Sn，则使Sn<－4成立的最小自然数n的值为________．

【答案】16

【解析】因为an＝log2

n123n，所以Sn＝log2＋log2＋log2＋…＋log2＝

234n＋1n＋1

B．an＝n－1 D．an＝2n－2

123n?111

··…·log2?2·＝log.若S<－4，则<，即n>15，则使Sn<－4成立的最小自然2n?34n＋1?n＋1n＋116