等差数列
1. 定义
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示。
用递推公式表示为an?an?1?d(d为常数)(n?2);
2.等差数列通项公式:
(1)an?a1?(n?1)d?dn?a1?d(n?N*)(首项:a1,公差:d,末项:an) (2)an?am?(n?m)d. 从而d?3.等差中项
(1)如果a,A,b成等差数列,那么A叫做a与b的等差中项.即:A?a?b2an?am; n?m或2A?a?b
(
2
)
等差中项:数列
?an?是等差数列
?2an?an-1?an?1(n?2)?2an?1?an?an?2
4.等差数列的前n项和公式:sn?n(a1?an) 2n(n?1)d 2?na1??d21n?(a1?d)n 22?An2?Bn
(其中A、B是常数) (当d≠0时,Sn是关于n的二次式且常数项为0)
5.等差数列的证明方法
(1) 定义法:若an?an?1?d或an?1?an?d(常数n?N)? ?an?是等差数列.
?(2)
等差中项:数列
?an?是等差数列
?2an?an-1?an?1(n?2)?2an?1?an?an?2.
(3)数列?an?是等差数列?an?kn?b(其中k,b是常数)。 (4)数列?an?是等差数列?Sn?An2?Bn,(其中A、B是常数)。
注:(1)等差数列的通项公式及前n和公式中,涉及到5个元素:a1、d、n、an及Sn,
其中a1、d称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个,便可求出其余2个,即知3求2。
(2)为减少运算量,要注意设元的技巧,如奇数个数成等差,可设为…,
a?2d,a?d,a,a?d,a?2d…(公差为d);偶数个数成等差,可设为…,a?3d,a?d,a?d,a?3d,…(公差为2d)
7.等差数列的性质:
(1)当公差d?0时,等差数列的通项公式an?a1?(n?1)d?dn?a1?d是关于n的
一次函数,且斜率为公差d;前n和Sn?na1?n(n?1)ddd?n2?(a1?)n是222关于n的二次函数且常数项为0.
(2)若公差d?0,则为递增等差数列,若公差d?0,则为递减等差数列,若公差d?0,则为常数列。
(3)当m?n?p?q时,则有am?an?ap?aq,特别地,当m?n?2p时,则有
am?an?2ap.
a1?an???????????a,a2,a3,?,an?2,an?1,an ???,图示:1?????????a2?an?1注:a1?an?a2?an?1?a3?an?2(4) 若{an}是等差数列,则Sn,S2n?Sn,S3n?S2n ,…也成等差数列
S3m???????????????????????图示:a1?a2?a3???am?am?1???a2m?a2m?1???a3m ???????????????????????SmS2m?SmS3m?S2m(5)若等差数列{an}、{bn}的前n和分别为An、Bn,且
An?f(n),则Bnan(2n?1)anA2n?1???f(2n?1). bn(2n?1)bnB2n?1(6)若?an?、?bn?为等差数列,则?an?bn?为等差数列
练习:
1.等差数列{an}中,a2?1,S11?33,求{an}的通项公式。
2.等差数列{an}前n项和记为Sn,已知a10?30,a20?50. (1)求通项an;(2)若Sn?242,求n.
3.若a6?a9?a12?a15?20求S20
4.一个首项为23,公差为整数的等差数列,如果前六项均为正数,第七项起为负数,则它的公差是多少?
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