等差数列知识点总结 

等差数列

1. 定义

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。

用递推公式表示为an?an?1?d（d为常数）（n?2）；

2．等差数列通项公式：

（1）an?a1?(n?1)d?dn?a1?d(n?N*)（首项:a1，公差:d，末项:an） （2）an?am?(n?m)d． 从而d?3．等差中项

（1）如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项．即：A?a?b2an?am； n?m或2A?a?b

（

2

）

等差中项：数列

?an?是等差数列

?2an?an-1?an?1(n?2)?2an?1?an?an?2

4．等差数列的前n项和公式：sn?n(a1?an) 2n(n?1)d 2?na1??d21n?(a1?d)n 22?An2?Bn

（其中A、B是常数） （当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0）

5．等差数列的证明方法

（1） 定义法：若an?an?1?d或an?1?an?d(常数n?N)? ?an?是等差数列．

?（2）

等差中项：数列

?an?是等差数列

?2an?an-1?an?1(n?2)?2an?1?an?an?2．

（3）数列?an?是等差数列?an?kn?b（其中k,b是常数）。 （4）数列?an?是等差数列?Sn?An2?Bn,（其中A、B是常数）。

注：（1）等差数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：a1、d、n、an及Sn，

其中a1、d称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。

（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，

a?2d,a?d,a,a?d,a?2d…（公差为d）；偶数个数成等差，可设为…，a?3d,a?d,a?d,a?3d,…（公差为2d）

7.等差数列的性质：

（1）当公差d?0时，等差数列的通项公式an?a1?(n?1)d?dn?a1?d是关于n的

一次函数，且斜率为公差d；前n和Sn?na1?n(n?1)ddd?n2?(a1?)n是222关于n的二次函数且常数项为0.

（2）若公差d?0，则为递增等差数列，若公差d?0，则为递减等差数列，若公差d?0，则为常数列。

（3）当m?n?p?q时,则有am?an?ap?aq，特别地，当m?n?2p时，则有

am?an?2ap.

a1?an???????????a,a2,a3,?,an?2,an?1,an ???，图示：1?????????a2?an?1注：a1?an?a2?an?1?a3?an?2(4) 若{an}是等差数列，则Sn,S2n?Sn,S3n?S2n ，…也成等差数列

S3m???????????????????????图示：a1?a2?a3???am?am?1???a2m?a2m?1???a3m ???????????????????????SmS2m?SmS3m?S2m（5）若等差数列{an}、{bn}的前n和分别为An、Bn，且

An?f(n)，则Bnan(2n?1)anA2n?1???f(2n?1). bn(2n?1)bnB2n?1（6）若?an?、?bn?为等差数列，则?an?bn?为等差数列

练习：

1.等差数列{an}中，a2?1,S11?33，求{an}的通项公式。

2.等差数列{an}前n项和记为Sn，已知a10?30，a20?50. （1）求通项an；（2）若Sn?242，求n.

3.若a6?a9?a12?a15?20求S20

4.一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是多少？