高等代数活页习题册

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作业说明：教师每次讲完章节内容，同学们完成相应的习题，从开课第二周起，每周交一次作业。作业直接写在习题册上，写不下可写背面或另加页

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1.1数域 整数的整除性 一 填空题

1．（681，542）= . 2. 最小的数域是 . 二 证明题

1. 证明 Q(i)?{a?bi|a,b?Q,i??1}是数域.

?m?F?2．证明：?nm,n?Z?是一个数环. F也是一个数域吗？

??23．证明：两个数环的交还是一个数环. 4. 证明：b|a, a?0, 则 |b|?|a|.

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1.2 一元多项式

21．求f(x)?x4?4x3?1除以g(x)?x的商多项式和余式分别?3x?1为 .

2. 设 f(x),g(x)和h(x)都是实系数多项式，证明：若

f2(x)?xg2(x)?xh2(x)，则f(x)?g(x)?h(x)?0

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1.3 整除的概念 一、选择题

1．在F[x]里能整除任意多项式的多项式是（ ）.

A．零多项式 B．零次多项式 C．一次多项式 D．二次多项式

2．下列对于多项式的结论不正确的是（ ）.

A.如果f(x)g(x),g(x)f(x)，那么f(x)?g(x) B.如果f(x)g(x),f(x)h(x)，那么f(x)(g(x)?h(x))

C.如果f(x)g(x)，那么?h(x)?F[x]，有f(x)g(x)h(x)

D.如果f(x)g(x),g(x)h(x)，那么f(x)h(x)

二、计算与证明题

1. 已知f(x)?x4?4x3?1, g(x)?x2?3x?1 ,求f(x)被g(x)除所得的商式和余式.

2. 令f1(x),f2(x),g1(x),g2(x)都是数域F上的多项式, 其中f1(x)?0且

g1(x)g2(x)f1(x)f2(x), f1(x)|g1(x)，证明: g2(x)|f2(x).

3．证明：x|f(x)k 当且仅当 x|f(x). 4．证明：xd?1|xn?1 当且仅当 d|n.

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