高等代数活页习题册

高等代数习题册

1.4 最大公因式 一、 填空题

1. 设g(x)f(x)，则f(x)与g(x)的最大公因式为 . 2. 多项式f(x)，g(x)互素的充要条件是存在多项式u(x)，v(x)使得 .

3. 设d(x)为f(x)，g(x)的一个最大公因式, 则d(x)与(f(x),g(x))的关系为 .

4. 设f(x)?x4?x2?ax?b.g(x)?x2?x?2，若(f(x),g(x))?g(x)，则

a? ，b? . 5．设f(x),g(x)?F[x]，若?(f(x))?0, ?(g(x))?m，则?(f(x),g(x))= . 6. 若g(x)f(x), h(x)f(x)，并且 ，则g(x)h(x)f(x). 二 计算题

1．设f(x), g(x)?F[x], g(x)?0, 且f(x)?g(x)q(x)?r(x), 举例说明

(f(x),g(x))?(f(x),r(x))不成立.

2. 求多项式f(x)?4x4?2x3?16x2?5x?9，g(x)?2x3?x2?5x?4的最大公因式d(x)，以及满足等式f(x)u(x)?g(x)v(x)?d(x)的u(x)和v(x). 3. 求多项式f(x)?x3?2x2?2x?1与g(x)?x4?x3?2x2?x?1的公共根.

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三 证明题

1. 设f(x)?d(x)f1(x)，g(x)?d(x)g1(x).证明：如果(f(x),g(x))?d(x)，且f(x)和g(x)不全为零，则(f1(x),g1(x))?1.

2. 设g(x),f(x)?F[x]，证明：如果(f(x),g(x))?1，那么对?h(x)?F[x]，都有 (f(x)h(x),g(x))?(h(x),g(x)).

3. 设a,b,c,d?F，且ad?bc?0，对于任意的f(x),g(x)?F[x]，则有

(f(x),g(x))?(af(x)?bg(x),cf(x?)dg(x)).

4. (f(x),g(x))?(f(x),g(x)?h(x)f(x)).

5.设(f(x),g(x))?1，证明：(f(x)g(x),f(x)?g(x))?1

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1.5 因式分解 一 证明题

1. 若p(x)，q(x)均为不可约多项式，且(p(x),q(x))?1，则存在非零常数c，使得p(x)?cq(x).

?F[x,]只要2. 设p(x)是F[x]中次数大于零的多项式，若?f(x),g(x)p(x)|g(x)f(x, )就有p(x)|g(x)或p(x)|f(x)，则p(x)不可约.

3．证明：d(x)2|f(x)2 当且仅当 d(x)|f(x).

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1.6 重因式 一 填空与选择题

1. 当a,b满足条件 时，多项式f(x)?x3?3ax?b有重因式. 2. 设p(x)是多项式f(x)的一个k(k?1)重因式，那么p(x)是f(x)的导数的一个 重因式.

3．以下命题不正确的是 （ ）.

A. 若f(x)|g(x),则f(x)|g(x)；B.集合P?{a?bi|a,b?Q}是数域；

C.若(f(x),f'(x))?1, 则f(x)没有重因式；

D．设p(x)是f'(x)的k?1重因式，则p(x)是f(x)的k重因式

二 计算与证明题

1. 判别下列多项式有无重因式：

(1)f(x)?x5?5x4?7x3?2x2?4x?8; (2)f(x)?x4?4x2?4x?3 2. 设复系数非零多项式没有重因式. 证明：(f(x),f(x)?f'(x))?1.

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