§7.1 不等关系与不等式
最新考纲 1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系. 2.了解不等式(组)的实际背景. 考情考向分析 以理解不等式的性质为主，本节在高考中主要以客观题形式考查不等式的性质；以主观题形式考查不等式与其他知识的综合.
1．两个实数比较大小的方法
a－b>0?a>b??
(1)作差法?a－b＝0?a＝b??a－b<0?a
(a，b∈R)
??a(2)作商法?＝1?a＝bba??b<1?a 性质 a>1?a>bb (a∈R，b>0) 性质内容 特别提醒 ? ? ? 对称性 传递性 可加性 a>b?bb，b>c?a>c a>b?a＋c>b＋c 可乘性 同向可加性 a>b??c>0???a>b???ac>bc 注意c的符号 c<0????ac 同向同正可乘性 可乘方性 a>b>0???c>d>0???ac>bd ? a>b>0?an>bn(n∈N，n≥1) a，b同为正数 可开方性 a>b>0?na>nb(n∈N，n≥2) 3.不等式的一些常用性质 (1)倒数的性质 ①a>b，ab>0?1a<1 b. ②a<0 a ③a>b>0,0 b (2)有关分数的性质 若a>b>0，m>0，则 ①ba a＋mb＋m；ab 题组一 思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a (3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．( ×(4)a>b>0，c>d>0?a>bdc.( √ ) (5)若ab>0，则a>b?1a<1 b.( √ ) 题组二 教材改编 2．[P74T3]若a，b都是实数，则“a－b>0”是“a2 －b2 >0”的( ) A．充分不必要条件 2 / 15 √ ) ) B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案 A 解析 a－b>0?a>b 2 2 ?a>b?a>b， 但由a－b>0?a－b>0. 122 3．[P75B组T1]若0 2________________． 122 答案 a<2ab< 2解析 ∵0 ∴a< 2∴a<2b·a＝2a(1－a)＝－2a＋2a 2 2 2 ?1?211＝－2?a－?＋<. ?2?22 1 即a<2ab<， 2 11222 又a＋b＝(a＋b)－2ab＝1－2ab>1－＝， 22 221即a＋b>， 2 a2＋b2－b＝(1－b)2＋b2－b＝(2b－1)(b－1)， 又2b－1>0，b－1<0，∴a＋b－b<0， ∴a＋b 122 综上，a<2ab< 2题组三 易错自纠 4．若a>b>0，c 解析 ∵c 3 / 15 2 2 2 2 abcdabdcB.－<0 D.< abcdabdc又0 bdacba，即>. cdcdcd5．设a，b∈R，则“a>2且b>1”是“a＋b>3且ab>2”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案 A 解析 若a>2且b>1，则由不等式的同向可加性可得a＋b>2＋1＝3，由不等式的同向同正可乘性可得ab>2×1＝2.即“a>2且b>1”是“a＋b>3且ab>2”的充分条件；反之，若“a＋b>31 且ab>2”，则“a>2且b>1”不一定成立，如a＝6，b＝.所以“a>2且b>1”是“a＋b>3且 2 ab>2”的充分不必要条件．故选A. ππ 6．若－<α<β<，则α－β的取值范围是__________． 22答案 (－π，0) ππππ 解析 由－<α<，－<－β<，α<β， 2222得－π<α－β<0. 题型一 比较两个数(式)的大小 2 2 1．已知实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a，c－b＝4－4a＋a，则a，b，c的大小关系是( ) A．c≥b>a C．c>b>a 答案 A 解析 ∵c－b＝4－4a＋a＝(a－2)≥0，∴c≥b. 又b＋c＝6－4a＋3a，∴2b＝2＋2a，∴b＝a＋1， 2 2 2 2 2 B．a>c≥b D．a>c>b ?1?232 ∴b－a＝a－a＋1＝?a－?＋>0， ?2?4 ∴b>a，∴c≥b>a. ln 3ln 4ln 5 2．若a＝，b＝，c＝，则( ) 345A．a B．c 4 / 15
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