利用不等式变形求范围
典例 设f(x)＝ax＋bx，若1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，则f(－2)的取值范围是________． 错解展示：
?1≤f?－1?≤2，?由???2≤f?1?≤4，
2
?1≤a－b≤2，①?得???2≤a＋b≤4. ②
31
①＋②得≤a≤3，②－①得≤b≤1.
22由此得4≤f(－2)＝4a－2b≤11. 所以f(－2)的取值范围是[4,11]． 错误答案 [4,11] 现场纠错
解析 方法一 设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m，n为待定系数)，则4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)，
即4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b.
??m＋n＝4，
于是得?
?n－m＝－2，?
??m＝3，
解得?
?n＝1.?
∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1)． 又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4. ∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10， 故5≤f(－2)≤10.
??f?－1?＝a－b，
方法二 由?
?f?1?＝a＋b，?
1
a＝[f?－1?＋f?1?]，??2得?1
b＝??2[f?1?－f?－1?]，
∴f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)． 又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，
∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故5≤f(－2)≤10.
??1≤a－b≤2，方法三 由?
?2≤a＋b≤4?
确定的平面区域如图阴影部分所示，
9 / 15
?31?当f(－2)＝4a－2b过点A?，?时， ?22?
31
取得最小值4×－2×＝5，
22当f(－2)＝4a－2b过点B(3,1)时， 取得最大值4×3－2×1＝10， ∴5≤f(－2)≤10. 答案 [5,10]
纠错心得 在求式子的范围时，如果多次使用不等式的可加性，式子中的等号不能同时取到，会导致范围扩大．
1．(2018·济宁模拟)若a<0，ay>0，且x＋y>0，则x与y之间的不等关系是( ) A．x＝y C．x 解析 由a<0，ay>0，可知y<0，又由x＋y>0， 可知x>0，所以x>y. 2．若f(x)＝3x－x＋1，g(x)＝2x＋x－1，则f(x)，g(x)的大小关系是( ) A．f(x)＝g(x) C．f(x) 解析 f(x)－g(x)＝x－2x＋2＝(x－1)＋1>0， 则f(x)>g(x)． 3．若a，b∈R，且a＋|b|<0，则下列不等式中正确的是( ) A．a－b>0 C．a－b<0 答案 D 解析 由a＋|b|<0知，a<0，且|a|>|b|， 10 / 15 2 2 2 2 2 2 B．x>y D．x≥y B．f(x)>g(x) D．随x值的变化而变化 B．a＋b>0 D．a＋b<0 33 当b≥0时，a＋b<0成立， 当b<0时，a＋b<0成立，∴a＋b<0成立．故选D. 4．(2018·乐山调研)若6 2A．9≤c≤18 C．9≤c≤30 答案 D 3a解析 ∵c＝a＋b≤3a且c＝a＋b≥， 23a∴9<≤a＋b≤3a<30. 2 5．设a，b∈R，则“(a－b)·a<0”是“a D．既不充分也不必要条件 答案 A 解析 由(a－b)·a<0，可知a≠0且a π?π?β??0，0，6．设α∈?，β∈?，那么2α－的取值范围是( ) ??2?2?3?? 22 2 aB．15 ?5π?A.?0，? 6?? C．(0，π) 答案 D ?π5π?B.?－，? 6??6?π?D.?－，π? ?6? βπ 解析 由题设得0<2α<π，0≤≤， 36 πβπβ∴－≤－≤0，∴－<2α－<π. 6363 7．有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积(单位：m)分别为x，y，z，且x＜y＜z，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m)分别为a，b，c，且a＜b＜c.在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是( ) A．ax＋by＋cz C．ay＋bz＋cx 答案 B B．az＋by＋cx D．ay＋bx＋cz 2 2 11 / 15 解析 令x＝1，y＝2，z＝3，a＝1，b＝2，c＝3. A项：ax＋by＋cz＝1＋4＋9＝14； B项：az＋by＋cx＝3＋4＋3＝10； C项：ay＋bz＋cx＝2＋6＋3＝11； D项：ay＋bx＋cz＝2＋2＋9＝13.故选B. 8．(2018·济南调研)若a>b>0，则下列不等式中一定成立的是( ) 11A．a＋>b＋ bbaaB.>D. bb＋1 aa＋1 2a＋ba> a＋2bb11C．a－>b－ 答案 A 1 解析 取a＝2，b＝1，排除B与D；另外，函数f(x)＝x－是(0，＋∞)上的增函数，但函 x1 数g(x)＝x＋在(0,1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，所以，当a>b>0时，f(a)>f(b) x1111 必定成立，即a－>b－?a＋>b＋，但g(a)>g(b)未必成立，故选A. abba9．已知a1≤a2，b1≥b2，则a1b1＋a2b2与a1b2＋a2b1的大小关系是__________________． 答案 a1b1＋a2b2≤a1b2＋a2b1 解析 a1b1＋a2b2－(a1b2＋a2b1)＝(a1－a2)(b1－b2)，因为a1≤a2，b1≥b2，所以a1－a2≤0，b1－b2≥0，于是(a1－a2)(b1－b2)≤0，故a1b1＋a2b2≤a1b2＋a2b1. 10．已知a，b，c，d均为实数，有下列命题： ①若ab>0，bc－ad>0，则－>0； ②若ab>0，－>0，则bc－ad>0； ③若bc－ad>0，－>0，则ab>0. 其中正确的命题是________．(填序号) 答案 ①②③ 解析 ∵ab>0，bc－ad>0， ∴－＝cdabcdabcdabcdbc－ad>0，∴①正确； ababcdabbc－ad>0， ab∵ab>0，又－>0，即∴bc－ad>0，∴②正确； 12 / 15
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