再者设x0与w和v均不相关,即对所有的k,有Ex0wT ( k) = 0 ,Ex0vT ( k) = 0 。 当获得了测量信息y (1) , y (2) , ?, y ( k) 之后, 假定已求得了状态x(k) 的最优滤波估计x ( k) , 在t(k + 1)瞬间的新测量信号y ( k + 1) 尚未获取之前,由于ω( k) 是完全?不可预测的白噪声序列。因此,从直观上说,根据已有的测量信息,只能用下式作为x ( k + 1) 的一个预测估计:
??x ( k+1| k)=?( k + 1 , k) x ( k)对测量信号y ( k + 1) 的预测估计为
y ( k + 1) = C( k + 1) x ( k + 1) . y ( k + 1)
预测估计值的误差为y( k + 1|k) = C( k + 1) x ( k + 1| k) +v( k + 1) ??因状态x ( k + 1) 的最优预测估计x ( k + 1| k) 有误差,应设法补偿之。可以得到的?反馈信息就是对测量信号预测估计的误差信号y( k + 1|k)。 它包含有新的测量y(k+1)的信?息,故名“新息”,即通过设反馈增益矩阵为K(k+1)来修正估计值。为便于P(k+1|k)的计算,还需确定P(k+1|k)与P(k+1)的递推关系:
P ( k + 1) = P ( k + 1| k) - K( k + 1) C( k + 1) P ( k + 1| k)
综上所述,卡尔曼滤波器递推方程组如下所示:
??x ( k + 1| k) = ?( k + 1 , k) x ( k) ???x ( k + 1) = x( k + 1|k) + K( k + 1) [ y ( k + 1) - C( k + 1) x ( k + 1| k) ] K( k + 1) = P ( k + 1| k) C ( k + 1) [ C ( k + 1) P ( k + 1|k) C ( k + 1) + R ( k + 1) ] P ( k + 1| k) = ?( k + 1 , k) P ( k)? ( k + 1 , k) + Q ( k) 模型中参数的物理意义
前面从数学的观点介绍了卡尔曼滤波的基本原理和计算方法,下面将说明卡尔曼滤波器应用于行程时间预测时其变量和参数的物理意义。方程中的测量向量y,在本文中即表示行程时间,因此,应用于本文的卡尔曼滤波器递推方程组中还应加入一个方程:
y ( k + 1 | k) = C( k + 1) x ( k + 1 | k)
TTT- 1 很明显,y在这里是一个数,即维数m的值为1.因为在递推过程中需要测量实际的行程时间,所以应该有能够观测行程时间的设备,例如自动车辆识别系统. C 在这里表示车道的时间平均占有率,是一个量纲为1的向量。 它的维数n 表示设置检测器的个数。状态向量x ,其单位与y 相同,都是时间的单位,表示与检测器有关的状态。它的值与检测器的布设、交通流的状态有关,符合正态分布,但无法直接测量。在这里,它是一个n维列向量,而C是n维行向量。Φ(k+1,k)称为状态转移矩阵,表示第k 周期的状态向第k+1周期的状态变化时的相互关系。 由于交通流的状态符合正态分布,前后两个周期的状态向量之间的关系是随机的,无规律,无法预知。 如果测量周期比较短,例如1min,那么相邻两个周期的状态向量差别不会太大,为了简化问题,可将Φ(k+1,k)取为n 维单位矩阵。 行程时间预测的基本原理
卡尔曼滤波观测模型属于线性动态模型，认为实际行程时间为基本行程时间和随机误差项之和，基本行程时间由预测区段所设置的检测器收集的数据计算后得出,误差项由测量方程递推计算得出。依照设置检测器处所检测到的占有率不同,而把整个预测区段内的车流分成几个不同的状态,即检测器处检测到的车流状态对应于不同的占有率从而对应于不同的车流密度,然后把几个不同车流状态段的行程时间加起来即为整个预测区段内的基本行程时间。由于交通流的动态随机性,观测中存在的误差等,特加一随机误差项ωk来加以修正。但
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从整个上讲,随机误差项wk的数学期望为零,方差为?2,CkWk +wk为实际行程时间的无偏估计。
六、第Ⅲ大问题
问题1: 请分别找出由14节点到3节点和由3节点到14节点的最优路径。并且估计出行车时间
该问题我们根据第Ⅱ大问题的几种情况分别进行讨论。
1) 用Dijkstra算法3和14两点间行车距离最短的最优路线
以下是根据题意所画出的路段的连接关系和长度的示意图，如图3-1，一般来说，由于路段两个方向的交通流情况并不一致, 当采用与交通流有关的路阻函数时, 应采用有向图表示路网。本小问中我们暂时不考虑方向性。
1NWSE8.125.859.156.95.16.159.68.5534.955.2545663.1578.185.192.252.552.8510115.558.12.412136.1514图3-1
由于Dijkstra算法计算的是从1点到其他所有点的最优路径，我们在这里将3点和1点的信息对调后得到如下的能在matlab中可以使用的矩阵关系形式。
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经过使用matlab编写程序计算后，得到如下表所示的数据
由表可知，由3节点(表中的目标点1)到达14节点或14节点到3节点(表中的目标点1)的距离累加值为26.1，最短长度路线为：
14???11???7???8???9???6???3 在第Ⅱ大问题中考虑了行车时间最短作为最优路径的情况，因为问题中没有给出实际行车过程中存在交通拥挤和各种路段间的延时，我们就这里不讨论这种情况了。
8.12.558.15.13.155.252) 在行车时间独立量情况下，考虑方差，以动态估计时间期望值最短为最优路径和时间估计。
以下是根据题意所画出的路段的连接关系和长度的示意图。如图3-2 其算法的搜索步骤如下所示： 1) 建立时耗期望与时耗方差矩阵
据已知条件，时耗期望与两点间距离成正比，时耗方差与距离的负3/2次方成比例，还和一路段两个终点所连路段数目的乘积成正比。两点间距离矩阵在上一问题中已经给出，这里我们设两点之间距离矩阵为Wlength.
Wt?k1Wlength
2WD?k2N1N2Wlength
?3 通过计算得出个路段N1N2的乘积矩阵如下表
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将Wlength中的每一个元素按式ai,j?ai,2在与上面的矩阵做点乘，可得耗时的方j计算，差矩阵WD/k2如下表。
?3
2）设置起始节点S，且Ts?0，Ds?0;Tp?0Dp?0;
ii3) 从S点出发，搜索与其相邻的节点中具有最小行驶时间期望值的节点i，设其为BEST。确认BEST是否是目标节点D，如果是，转步骤4)；否则，根据节点i在路网中的连接路段的属性生成节点i的所有后继节点Xj。对于每一后继节点Xj，完成下列步骤：
① 由式DP?DP?Di,j计算节点j 的方差；
② 如果DPj?M则转向下一个节点，j=j+1并重复步骤1）；
JI③ 由式TP?TP?Ti,j计算节点j 的行驶时间期望值；
④ 设置节点j的为BEST节点,然后将节点j作为下次循环的起始点。
JI4) 重复步骤2）。
5) 从BEST节点，遍历后直到目的点D为止，报告总时间解和路线解。
6) 由标准正态分布计算路线解时耗的置信度为1-α的单侧估计区间（0，
，其中?(N?)?1??。该置信区间表明若用户选择解路线，有1 -α的概TP?N?DP）率保证用户能在TP?N?DP时间以内到达终点。
根据上述的算法编写程序（见附录），并对题目给出的实际问题进行求解。
当k1=1，k2=1时，M（合理的路径总方差门限）取不同的值，其路线的走向会发生变化，如图所示。
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