数学分析第十一章反常积分§2 无穷积分的性质与收敛判别一、无穷积分的性质二、非负函数无穷积分的
收敛判别法
三、一般函数无穷积分的
收敛判别法
*点击以上标题可直接前往对应内容本节讨论无穷积分的性质,并用这些性质得到无穷积分的收敛判别法.§2 无穷积分的性质与收敛判别无穷积分的性质
无穷积分的性质??非负函数无穷积分的收敛判别法一般函数无穷积分的
收敛判别法
定理11.1（无穷积分收敛的柯西准则）无穷积分?af(x)dx收敛的充要条件是:???0,?G?a,当u1,u2?G时,?au1f(x)dx??uu2af(x)dx??uu21f(x)dx??.??a证设F(u)??f(x)dx,u?[a,??),则?au???f(x)dx收敛的充要条件是存在极限limF(u).由函数极限的柯西准则,此等价于
???0,?G?a,?u1,u2?G,F(u1)?F(u2)??,数学分析第十一章反常积分高等教育出版社后退前进目录退出
§2 无穷积分的性质与收敛判别无穷积分的性质
非负函数无穷积分的收敛判别法一般函数无穷积分的
收敛判别法
即
?a??au1f(x)dx??u2af(x)dx??uu21f(x)dx??.根据反常积分定义,容易导出以下性质1 和性质2.
性质1若?f1(x)dx与?????af2(x)dx都收敛,k1,k2为任意常数, 则
kf(x)?kf(x)dx??1122?a也收敛,且kf(x)?kf(x)dx??1122?a???k1?高等教育出版社??af1(x)dx?k2???af2(x)dx.数学分析第十一章反常积分§2 无穷积分的性质与收敛判别无穷积分的性质
非负函数无穷积分的收敛判别法一般函数无穷积分的
收敛判别法
性质2若f在任何有限区间[a,u]上可积,则?a?a??f(x)dx与b?b??f(x)dx(?b?a),??b同时收敛或同时发散，且??f(x)dx??f(x)dx??af(x)dx.由性质2还可以得到性质2相当于积分区间可加性.
?a??f(x)dx收敛的另一个充要条件:???0,?G?a,当u?G时,?u??f(x)dx??.数学分析第十一章反常积分高等教育出版社
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