§2 无穷积分的性质与收敛判别无穷积分的性质
非负函数无穷积分的收敛判别法一般函数无穷积分的
收敛判别法又因???af(x)dx收敛，故F(u)??f(x)dx在a??u[a,??)上有界,由狄利克雷判别法?af(x)g1(x)dx收敛, 所以
??a?f(x)g(x)dx????af(x)g1(x)dx?A???af(x)dx，积分收敛.数学分析第十一章反常积分高等教育出版社§2 无穷积分的性质与收敛判别无穷积分的性质
非负函数无穷积分的收敛判别法一般函数无穷积分的
收敛判别法收敛.
若0?p?1,则当u?1时??cosxsinx的收敛性.dx与dx(p?0)例6讨论?1pp?1xx??sinxsinx1解当p?1时,由于?p,因此?dx绝对pp1xxx??1而p单调趋于0，因此由狄利克雷判别法推知x??sinx另一方面，dx收敛.p?1x2sinxsinx1cos2x???,x??1,???,pxx2x2x数学分析第十一章反常积分高等教育出版社?u1sinxdx?cos1?cosu?2,§2 无穷积分的性质与收敛判别无穷积分的性质
sinx总之,因此?dx发散.p1x??sinx当0?p?1时,?dx条件收敛;p1x??sinx当1?p???时，?1xpdx绝对收敛.类似可证:
??cosx当0?p?1时，dx条件收敛;?1xp??cosx当1?p???时，dx绝对收敛.?1xp??cos2x1??cost其中?dx??dt满足狄利克雷判别
12x22t??dx发散，法条件, 是收敛的；而?12x??非负函数无穷积分的收敛判别法一般函数无穷积分的
收敛判别法数学分析第十一章反常积分高等教育出版社复习思考题
1.设f(x)在[a,??)非负,???af(x)dx收敛,是否一定??存在??0,M?a,使x2.若???a1??f(x)在[M,??)上有界?af(x)dx收敛,能否推得?f(x)dx收敛?3反之呢?
f(x)3.若?f(x)dx收敛且lim?1,是否必有ax???g(x)??g(x)dx收敛????a数学分析第十一章反常积分高等教育出版社
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