§11.2 离散型随机变量及其分布列、均值与方差(试题部分)

§11.2 离散型随机变量及其分布列、均值与方差

基础篇固本夯基

【基础集训】

考点一 离散型随机变量及其分布列

1.若离散型随机变量X的分布列如下表,则常数c的值为( )

X P

0 9c2-c

1 3-8c

A.或 B. C. D.1 答案 C

2.为创建国家级文明城市,某城市号召出租车司机在高考期间至少进行一次“爱心送考”,该城市某出租车公司共200名司机,他们进行“爱心送考”的次数统计如图所示.

(1)求该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数;

(2)从这200名司机中任选两人,设这两人进行送考次数之差的绝对值为随机变量X,求X的分布列及数学期望.

23

13

23

13

解析 (1)由统计图得200名司机中送考1次的有20人, 送考2次的有100人,送考3次的有80人,

∴该出租车公司的司机进行“爱心送考”的人均次数为

20×1+100×2+80×3

=2.3.

200

(2)从该公司任选两名司机,记“这两人中一人送考1次,另一人送考2次”为事件A, “这两人中一人送考2次,另一人送考3次”为事件B, “这两人中一人送考1次,另一人送考3次”为事件C, “这两人送考次数相同”为事件D, 由题意知X的所有可能取值为0,1,2, P(X=1)=P(A)+P(B)=P(X=2)=P(C)=

1C120C80111

C120C100C100C80100+=,

199C2C2200200

C2200

=16

, 199

P(X=0)=P(D)=

22

C220+C100+C80C2200

=83

, 199

∴X的分布列为

X P

8310016 1991991990 1 2

E(X)=0×

8310016132+1×+2×=. 199199199199

考点二 离散型随机变量的均值与方差

3.设离散型随机变量X可能的取值为1,2,3,4,P(X=k)=ak+b,若X的数学期望为E(X)=3,则a-b=( ) A. B.0 C.- D. 答案 A

4.已知离散型随机变量X的分布列为

X P

0

1

2 m

3

110

110

15

则X的数学期望E(X)=( ) A. B.1 C. D.2 答案 B

23

32

8 274 91 275.已知随机变量ξ满足P(ξ=0)=,P(ξ=1)=x,P(ξ=2)=-x,若0

6.某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完,剩下的玫瑰花当作垃圾处理.

(1)若花店一天购进16枝玫瑰花,求当天的利润y(单位:元)关于当天需求量n(单位:枝,n∈N)的函数解析式; (2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表:

日需求量n 14 频数

10

15 20

16 16

17 16

18 15

19 13

20 10

132323以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.

(i)若花店一天购进16枝玫瑰花,X表示当天的利润(单位:元),求X的分布列、数学期望及方差; (ii)若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花,你认为应购进16枝还是17枝?请说明理由. 解析 (1)当日需求量n≥16时,y=80. 当日需求量n<16时,y=10n-80. 所以y关于n的函数解析式为 y={

10??-80, n<16,

(n∈N).

80, ??≥16

(2)(i)X可能的取值为60,70,80,并且P(X=60)=0.1, P(X=70)=0.2,P(X=80)=0.7. 故X的分布列为

X P

X的数学期望EX=60×0.1+70×0.2+80×0.7=76.

X的方差为DX=(60-76)2×0.1+(70-76)2×0.2+(80-76)2×0.7=44. (ii)答案不唯一.答案一:

花店一天应购进16枝玫瑰花.理由如下:

若花店一天购进17枝玫瑰花,设Y表示当天的利润(单位:元),则Y的分布列为

Y P

55 0.1

65

75

85

0.2 0.16 0.54 60 0.1

70 0.2

80 0.7

Y的数学期望为EY=55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4.

Y的方差为DY=(55-76.4)2×0.1+(65-76.4)2×0.2+(75-76.4)2×0.16+(85-76.4)2×0.54=112.04.

结合(2)(i)可知DX

花店一天应购进17枝玫瑰花.理由如下:

若花店一天购进17枝玫瑰花,设Y表示当天的利润(单位:元),那么Y的分布列为

Y P

55 0.1

65

75

85

0.2 0.16 0.54

Y的数学期望为EY=55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4.

结合(2)(i)可知EX

综合篇知能转换

【综合集训】

考法 求离散型随机变量的期望与方差的方法

1.(2018广东省际名校联考(二),11)不透明袋子中装有大小、材质完全相同的2个红球和5个黑球,现从中逐个不放回地摸出小球,直到取出所有红球为止,则摸取次数X的数学期望是( ) A. B. C. D. 答案 D

2.(2018广东深圳南山入学摸底考试,5)一个摊主在一旅游景点设摊,在不透明的口袋中装入除颜色外无差别的2个白球和3个红球.游客向摊主付2元进行1次游戏.游戏规则如下:游客从口袋中随机摸出2个小球,若摸出的小球同色,则游客获得3元奖励;若异色,则游客获得1元奖励.则摊主从每次游戏中获得的利润X(单位:元)的期望是( ) A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.5 答案 A

3.(2019河北冀州期末,19)有编号为1,2,3,…,n的n个学生,入座编号为1,2,3,…,n的n个座位,每个学生规定坐一个座位,设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X,已知X=2时,共有6种坐法. (1)求n的值;

(2)求随机变量X的概率分布列及数学期望E(X).

2=解析 (1)因为当X=2时,有C??

18

592367163

??(??-1)

种坐法, 2

所以

??(??-1)

=6,即2n2-n-12=0,

解得n=4或n=-3(舍去), 所以n=4.

(2)因为X表示的是学生所坐的座位号与该生的编号不同的人数,所以X的可能取值是0,2,3,4, 所以P(X=0)=4=,P(X=2)=A41

124C2C311134×114×21

=,P(X=3)==,P(X=4)=1---=, 444324438A4A4

所以X的概率分布列为

X P

0

2

1

241 41 33

3 84

所以数学期望E(X)=0×+2×+3×+4×=3.

4.(2019广东佛山顺德第二次教学质量检测,18)某糕点房推出一类新品蛋糕,该蛋糕的成本价为4元,售价为8元.受保质期的影响,当天没有销售完的糕点只能销毁.经过长期的调研,统计了一下该新品的日需求量.现将近期一个月(30天)的需求量展示如下:

日需求量X(个)

20

30

40

50

124141338

天数

5

10

10

5

(1)从这30天中任取两天,求两天的日需求量均为40个的概率;

(2)以上表中的频率作为概率,列出日需求量X的分布列,并求该月的日需求量X的期望; (3)根据(2)中的分布列求得当该糕点房一天制作35个该类蛋糕时,对应的利润的期望值为个,求对应利润的期望值,判断此建议该不该被采纳.

解析 (1)从这30天中任取两天,两天的日需求量均为40个的概率为(2)日需求量X的分布列为

X P

16

13

13

16

C210320

;现有员工建议扩大生产,一天生产3

45

=. C23029

40

50

3

20

1

630

1 31 31 6日需求量X的期望E(X)=20×+30×+40×+50×=35.

(3)设该糕点房制作45个蛋糕对应的利润为Y元,对应的分布列如下:

利润Y(元) 概率

-20

60

140

180

1 61 31 31 6利润Y的期望E(Y)=-20×+60×+140×+180×=思路分析 (1)直接根据对应关系求概率即可;

1613131280280320

.因为<,所以此建议不该被采纳. 6333

(2)列出日需求量的分布列,根据分布列,用数学期望的公式求解即可;

(3)列出利润的分布列,根据分布列,用数学期望的公式求解,然后比较两个期望值,从而判断此建议该不该被采纳.

5.(2019安徽宣城二模,19)某中学利用周末组织教职工进行了一次秋季登山健身的活动,有N人参加,现将所有参加者按年龄情况分为[20,25),[25,30),[30,35),[35,40),[40,45),[45,50),[50,55)共七组,其频率分布直方图如图所示,已知[25,30)这组的参加者是6人. (1)根据频率分布直方图求该校参加秋季登山活动的教职工年龄的中位数;

(2)已知[35,40)和[40,45)这两组各有2名数学教师,现从这两个组中各选取2人担任接待工作,设两组的选择互不影响,求两组选出的人中恰有1名数学教师的概率;

(3)组织者从[45,55)这组的参加者(其中共有4名女教师,其余全为男教师)中随机选取3名担任后勤保障工作,其中女教师的人数为X,求X的分布列和均值.

解析 (1)设[30,35)这一组对应的矩形的高为x, ∵(0.01+0.03+x+0.04+0.03+0.02+0.01)×5=1, ∴x=0.06.

∵(0.01+0.03+0.06)×5=0.5, ∴中位数为35.

(2)记事件A为“从[35,40)和[40,45)两组中各选出2人,选出的人中恰有1名数学教师”,

参加活动的总人数N=6÷(0.03×5)=40,年龄在[35,40)的人数为40×(0.04×5)=8,年龄在[40,45)的人数为40×(0.03×5)=6, ∴P(A)=

12211

C12C6C4C6C2C416

×+×=. 235C2C2C286C86

(3)年龄在[45,55)的人数为40×(0.02+0.01)×5=6, X的可能取值为1,2,3,∵P(X=1)=

21

C1C2C34C214C2341

=,P(X=2)==,P(X=3)==, 3355C6C6C365

∴X的分布列为

X P

1 51

3 52

1 53

E(X)=1×+2×+3×=2.

153515【五年高考】

考点一 离散型随机变量及其分布列

1.(2019课标Ⅰ,21,12分)为治疗某种疾病,研制了甲、乙两种新药,希望知道哪种新药更有效,为此进行动物试验.试验方案如下:每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠,随机选一只施以甲药,另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后,再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时,就停止试验,并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题,约定:对于每轮试验,若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈,则甲药得1分,乙药得-1分;若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈,则乙药得1分,甲药得-1分;若都治愈或都未治愈,则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β,一轮试验中甲药的得分记为X. (1)求X的分布列;

(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分,pi(i=0,1,…,8)表示“甲药的累计得分为i时,最终认为甲药比乙药更有效”的概率,则p0=0,p8=1,pi=api-1+bpi+cpi+1(i=1,2,…,7),其中a=P(X=-1),b=P(X=0),c=P(X=1).假设α=0.5,β=0.8. (i)证明:{pi+1-pi}(i=0,1,2,…,7)为等比数列;

(ii)求p4,并根据p4的值解释这种试验方案的合理性.

解析 本题主要考查概率与数列的综合,考查离散型随机变量的分布列,等比数列的判定及累加法的应用,考查学生灵活运用概率与数列知识去分析、解决实际问题的能力,综合考查学生的逻辑推理能力、数学运算能力以及应用意识、创新意识. (1)X的所有可能取值为-1,0,1.

P(X=-1)=(1-α)β,P(X=0)=αβ+(1-α)(1-β), P(X=1)=α(1-β). 所以X的分布列为

X P

(2)(i)证明:由(1)得a=0.4,b=0.5,c=0.1.

因此pi=0.4pi-1+0.5pi+0.1pi+1,故0.1(pi+1-pi)=0.4(pi-pi-1),即pi+1-pi=4(pi-pi-1).又因为p1-p0=p1≠0,所以{pi+1-pi}(i=0,1,2,…,7)是公比为4,首项为p1的等比数列. (ii)由(i)可得

48-1

p8=p8-p7+p7-p6+…+p1-p0+p0=(p8-p7)+(p7-p6)+…+(p1-p0)=p1.

33

-1 (1-α)β

0

αβ+(1-α)(1-β)

1 α(1-β)

由于p8=1,故p1=

48-1

,所以p4=(p4-p3)+(p3-p2)+(p2-p1)+(p1-p0)=

44-11

p1=. 3257p4表示最终认为甲药更有效的概率.由计算结果可以看出,在甲药治愈率为0.5,乙药治愈率为0.8时,认为甲药更有效的概率为p4=

1

≈0.003 9,此时得出错误结论的概率非常小,说明这种试验方案合理. 257试题分析 本题以试验新药疗效为背景,命制了一个概率与数列的综合性问题,试题很新颖,创新度高,考查学生灵活运用数学知识解决实际问题的能力.本题层次分明,内容丰富,区分度较高,使不同学生的理性思维的广度和深度得到了充分展示.

2.(2016课标Ⅰ,19,12分)某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图: