2020年北京市中考二模数学试题分类汇编：导数

1.（丰台19）已知函数f(x)?（Ⅰ）求函数f(x)的极值；

x?1ex.

（Ⅱ）求证：当x?(0,??)时，f(x)??12x2?1；

（Ⅲ）当x?0时，若曲线y?f(x)在曲线y?ax2?1的上方，求实数a的取值范围. 答案

解：（Ⅰ）因为f(x)?x?1ex，定义域R，

所以f'(x)??xex.

令f'(x)?0，解得x?0.

随x的变化，f'(x)和f(x)的情况如下：

由表可知函数f(x)在x?0时取得极大值f(0)?1，无极小值. （Ⅱ）令g(x)?f(x)?122x?1?x?1ex?12x2?1(x?0)， ?1)?x(ex g'(x)=?x?1ex?x?x(1exex).

由x?0得ex?1?0，

于是g'(x)?0，

故函数g(x)是[0,+?)上的增函数.

所以当x?(0,+?)时，g(x)?g(0)?0，即f(x)??12x2?1. （Ⅲ）当a??12时，由（Ⅱ）知f(x)??122x?1?ax2?1，满足题意.

令h(x)?f(x)?ax2?1?x?12ex?ax?1，

h'(x)??xex?2ax??x(1ex?2a).

………5分 ………9分

当?12?a?0时，若x?(0，ln(?112a))，h'(x)?0，

则h(x)在[0，ln(?)]上是减函数.

2a1ln(?))时，h(x)?h(0)?0，不合题意. 所以x?(0，2a当a?0时h'(x)?0，则h(x)在(0,+?)上是减函数， 所以h(x)?h(0)?0，不合题意.

综上所述，实数a的取值范围(??,?]. ………15分

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2．（密云19）已知函数f(x)?x?alnx,a?R． （Ⅰ）当a?1时，求曲线f(x)在x?1处的切线方程； （Ⅱ）设函数h(x)?f(x)?由．

（Ⅲ）当x?0时，写出xlnx与x2?x的大小关系． 答案

1?a，试判断函数h(x)是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在，请说明理x3?1??a24b2?1,?15?22?2c, （Ⅰ）解：根据题意得?a?b?6??a2?b2?c2.???a?2,?解得?b?1,

??c?3.x23?y2?1，离心率е?所以椭圆C的方程为．

24（Ⅱ）解：方法一

y M 因为直线不与轴垂直，所以直线的斜率不为． B 设直线的方程为：x?ty?6， 5A Q x N 6?x?ty?,?1264?522?0． 联立方程?2化简得(t?4)y?ty?525?x?y2?1.??465设M(x1,y1)，N(x2,y2)，

显然点Q(?,0)在椭圆C的内部，所以??0．

12t64yy??，． 12225(t?4)25(t?4)uuuuruuur又因为A(?2,0)，所以AM?(x1?2,y1)，AN?(x2?2,y2)．

uuuuruuur所以AMgAN?(x1?2)(x2?2)?y1y2

则y1?y2?66?(ty1??2)(tx2??2)?y1y255416 ?(t2?1)y1y2?t(y1?y2)?

52564412t16?(t2?1)?(?)?t??25(t2?4)55(t2?4)25 =0 方法二

（1）当直线垂直于x轴时 解得M与N的坐标为(?,?)．

由点A(?2,0)，易证?MAN?90． （2）当直线斜率存在时

设直线的方程为：y?k(x?),k?0.，

ouuuuruuuro所以AM?AN，即?MAN?90是定值．

6545656?y?k(x?),?4824(36k2?25)?522kx??0． 联立方程?2化简得(1?4k)x?525?x?y2?1.??465设M(x1,y1)，N(x2,y2)，

显然点Q(?,0)在椭圆C的内部，所以??0．

48k24(36k2?25)则x1?x2??，x1x2?．

5(1?4k2)25(1?4k2)uuuuruuur又因为A(?2,0)，所以AM?(x1?2,y1)，AN?(x2?2,y2)．

uuuuruuur所以AMgAN?(x1?2)(x2?2)?y1y2

66?(x1?2)(x2?2)?k(x1?)k(x2?)556236k22 ?(k?1)x1x2?(2?k)(x1?x2)?4?

5254(36k2?25)62?48k236k22?(k?1)??(2?k)??4?2225(1?4k)55(1?4k)25 =0

uuuuruuuro所以AM?AN，即?MAN?90是定值．

3.（昌平20）已知函数f(x)?13x?ax?a,a?R. 3