1 5 4
3
2 4
3
2
1
5
【解答】解：首先理解题目，找出唯一填法的空格，例如第一行第一个1，与其唯一相邻的空白空格必须为1，以此类推，第二行第一个5也具有唯一相邻空格．逆推得出唯一图形．相加求和为150．
故答案为150．
6．（12分）甲、乙两人从A地步行去B地．乙早上6：00出发，匀速步行前往；甲早上8：00才出发，也是匀速步行．甲的速度是乙的速度的2.5倍，但甲每行进半小时都需要休息半小时．甲出发后经过 330 分钟才能追上乙．
【解答】解：法一：假设甲一小时走5米，乙一小时走2米，列表如下：
时间 0小时
甲（米）
0
乙（米）
4
时间 3小时
甲（米） 7.5
乙（米） 10
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0.5小时 1小时 1.5小时 2小时 2.5小时
2.5 2.5 5 5 7.5
5 6 7 8 9
3.5小时 4小时 4.5小时 5小时 5.5小时
10 10 12.5 12.5 15
11 12 13 14 15
观察得5.5小时恰好追上（如果这时间超过了乙，就要用具体追及公式计算追及时间） 法二：也可以设甲的速度为每小时10a（甲要休息，实际每小时走5a），乙的速度为每小时4a，因此要追8a．半小时内最多追3a，可以先从要追的8a中扣除3a，因为在此之前不可能追上（之前的距离差不止3a）．之后再开始按每半小时列出，若不够半小时的话，用追及公式算．前面追的5a，相当于每小时追a，可以用5a÷（5a﹣4a）＝5（小时）计算．之后，甲半小时再走2a，乙再走5a，加上还差的3a，正好追上．因此，要追5.5小时，即330分钟． 故答案为：330．
三、填空题（每小题15分，满分75分）
7．（15分）五支足球队伍比赛，每两个队伍之间比赛一场：胜者得3分，负者得0分，平局各得1分，比赛完毕后，发现各队得分均不超过9分，且恰有两只队伍同分，设五支队伍的得分从高到低依次为A、B、C、D、E（有两个字母表示的数是相同的），若恰好是15的倍数，那么此次比赛中共有多少场平局？ 【解答】解：5×（5﹣1）÷2＝10（场） 比赛一共10场，总分在20到30分之间． 五位数
恰是15的倍数，利用整除性可知，E可为0或者5，考虑到E最小，如果，
总分最小为8+7+6+5+5＝31分，不成立，所以，即第五名4场全负积0分．
第五名负四场，则平局最多为6场，总分最少为24分．又考虑到分数和为3的倍数，总分可能情况为30，27，24．对三种情况分别讨论： （1）总分30分：
即无平局情况，那么前四名队伍得分只可能为9，6，3分．不能在只有两个重复的情况下凑出30．所以总分30分情况不存在． （2）总分27分：
经测试，存在，满足题目分数要求，且四个队7场胜3场负，恰好满足第五队的4场负，
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所以此为一解，比赛3场平局． （3）总分24分：
在24分情况下，只有前四名只能各胜1场平2场，但不满足只有两队得分相同． 所以总分24分情况不存在．
综上，唯一存在总分27分情况下，比赛中共有3场平局．
8．（15分）由2013个边长为1的小正三角形拼成的四边形中，周长的最小值是 127 ． 【解答】解：由题意，正三角形组成两种四边形：平行四边形和梯形，平行四边形要求偶数个三角形，2013是奇数，只能拼成梯形，而且是等腰梯形．
设梯形的下底边长为a、上底边长为b，则腰的长度为（a﹣b），所以，周长为（a+b）+2（a﹣b）．
因为a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝2013＝3×11×61，积一定差小和小，所以：（a+b）×2（a﹣b）＝2×3×11×61＝61×66，
当a+b＝61、2（a﹣b）＝66时，差小，和就小，最小周长为：66+61＝127．（a＝47，b＝14可以不必求出来） 故答案为127．
9．（15分）如图，正六边形ABCDEF的面积为1222，K、M、N分别AB，CD，EF的中点，那么三角形PQR的边长是 141 ．
【解答】解：如图延长BA和EF交于点O，并连接AE，由正六边形的性质，我们可知SABCM＝SCDEN＝SEFAK＝六边形面积，
根据容斥原理，重叠部分三个三角形面积和等于阴影部分面积，且因为对称， △AKP，△CMQ，△ENR三个三角形是一样的，有KP＝RN，AP＝ER，RP＝PQ， ＝，则
＝，
＝，由鸟头定理可知道3×KP×AP＝RP×PQ，
S
综上可得：PR＝2KP＝RE，那么由三角形AEK是六边形面积的，且S△APK＝
△AKE
，
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S△APK＝SABCDEF＝47，所以阴影面积为47×3＝141
故答案为141．
10．（15分）一个自然数恰有9个互不相同的约数，其中3个约数A，B，C满足： ①A+B+C＝79 ②A×A＝B×C
那么，这个自然数是 441 ．
【解答】解：一个自然数N恰有9个互不相同的约数，则可得N＝x2y2，或者N＝x8，（1）当N＝x8，则九个约数分别是：1，x，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，其中有3个约数A、B、C且满足A×A＝B×C，不可能．
（2）当N＝x2y2，则九个约数分别是：1，x，y，x2，xy，y2，x2y，xy2，x2y2，其中有3个约数A、B、C且满足A×A＝B×C， ①A＝x，B＝1，C＝x2，则x+1+x2＝79，无解． ②A＝xy，B＝1，C＝x2y2，则xy+1+x2y2＝79，无解． ③A＝xy，B＝x，C＝xy2，则xy+x+xy2＝79，无解． ④A＝xy，B＝x2，C＝y2，则xy+x2+y2＝79，解得：
，则N＝32×72＝441．
⑤A＝x2y，B＝x2y2，C＝x2，则x2y+x2y2+x2＝79，无解． 故答案为441．
11．（15分）有一个奇怪的四位数（首位不为0），它是完全平方数，它的数字和也是完全平方数，用这个四位数除以它的数字和得到的结果还是完全平方数，并且它的约数个数还恰好等于它的数字和，那当然也是完全平方数，如果这个四位数的各位数字互不相同，那么这个四位数是多少？ 【解答】解：
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