. .
2018 年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
一、选择题： 本题共 12 小题， 每小题5 分，共 60 分。在每小题给出的四个项选中， 1．已知集合 A
A． 0 2． 1 i 2 i
A． 3 i
B． 3 i
C． 3 i
D． 3 i
只有一项是符合题目要求的。
x| x 1≥ 0 ， B
B． 1
0，1，2 ，则A B
C． 1，2
D． 0，1，2
3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方
体是榫头． 若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以 是
1
4．若
sin
3
8 A．
9
5
2
，则cos2
7 B．
9
2
4
7 C．
9
8
D． 9
5． x
x
A．10 6．直线x y
的展开式中
x
的系数为
B．20 C．40
2
D．80
2
分别与 x轴， y轴交于 A， B两点，点 P在圆x
2 0
y
上，则△ABP
2
面积的取值范围
2
是 A．
B．
C．
D．
2 ，3 2
2 2 ，3 2
2，6
4
2
4，8
2
的图像大致为
7．函数 y x x
eord 完美格式
. .
8．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为
使用移动支付的人数，
DX
A．0.7
B．0.6
2.4 ，
p ，各成员的支付方式相互独立，设
，则
X 为该群体的 10 位成员中
P X 4 P X 6
C．0.4
p
D．0.3
2
2
a
9． △ABC 的内角 A，B ，C 的对边分别为 a ， b ，c ，若 △ABC 的面积为
π
A．
2
π B．
3
π C．
4
4 的球的球面上四点，
b
C c
，则
2
4 π D． 6
△ABC 为等边三角形且其面积为
9 3 ，则三棱锥
10．设 A，B ，C ，D 是同一个半径为
D
ABC
体积的最大值为
B．18 3
2
2
A．12 3 C．24 3
y
2
D．54 3
x
11．设 是双曲线 ：
F ，F C 2
1
2
（ a 0，b 0 ）的左，右焦点， O 是坐标原点．过 F2 作 C 的一条渐近线的
1
a
垂线，垂足为 P ．若 PF1 A． 5
b
6 OP ，则 C 的离心率为
B．2 C． 3 D． 2
12．设 a log 0.3， b log 2 0.3 ，则
0.2
A．a b ab 0 C．a b 0 ab
B．ab a b 0 D．ab 0 a b
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
eord 完美格式
. .
13．已知向量 a= 1,2 ， b= 2, 2 ， c= 1,λ．若 c∥ 2a + b ，则________．
x
14．曲线y ax
在点 0，1处的切线的斜率为2，则a ________．
1 e
π
15．函数 f x
x 在 0，π的零点个数为________．
cos 3
6
2
4
16．已知点 和抛物线C：y
x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与 C 交于 A ，B 两点．若 ∠AMB 90 M 1，1
k则
________． 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第
17~21题为必考，题每个试题考生都必须
作答。第 22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。
17．（ 12 分）
等比数列
中，
．
a
n
（1）求 a 的通项公式；
n
（2）记S为an 的前 n项和．若 Sm
63，求 m ．
n
18．（ 12 分）
某工厂为提高生产效率，开展技术创新活，动提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两 种生产方式的效率，选取
40 名工人，将他们随机分成两组，每组20 人。第一组工人用第一种生产方式，第
二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时位单（间
： min）绘制了如下茎叶图：
（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由； （2）求 40 名工人完成生产任务所需时间的中位数 m ，并将完成生产任务所需时m过超间 和不超过m 的工人
数填入下面的列联表：
超过不超过
m
m
第一种生产方式 第二种生产方式
（3）根据（ 2）中的列联表，能否有
99%的把握认为两种生方产
式的效率有差异？ 2
2
n ad bc
附：
K
，
a b c d a c b d
2
，
P K ≥ k
k
19．（ 12 分）
0.050 3.841
0.010 6.635
0.001 10.828
eord 完美格式
. .
如图，边长为2 的正方形 ABCD 所在的平面与半圆弧 （1）证明：平面 AMD ⊥平面 BMC ； （2）当三棱锥体积最大时，求面
M ABC
与面
CD 所在平面垂直， M 是 CD 上异于 C ， D 的点．
所成二面角的正弦值． MAB MCD
20．（ 12 分）
2
2
已知斜率为的直线与椭圆
k
x y
交于 ， 两点，线段
的中点为．
l
C：
1
4
3
1
； 2
．证明：
C
，
，
成等差数列，并 FA
FP
FB
A B AB M 1，m m 0
（1）证明： k
（2）设为 的右焦点，为上一点，且
F C P FP FA FB 0
求该数列的公差．
21．（ 12 分）
已知函数
f x
（1）若 a
2
2 x ax ln 1 x
．
2x
，证明：当 0
1 x 0时， f x 0 ；当 x 0时， f x 0 ；
（2）若 x 0 是 f x 的极大值点，求 a ． （二）选考题：共
10 分。请考生在第 22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修 4— 4：坐标系与参数方程 ] （ 10 分）
x cos
在平面直角坐标系
中， xOy
的参数方程为（为参数），过点 ⊙ O
y sin
，
且倾斜角为的
0，
2
直线l 与 ⊙ O 交于 A，B 两点． （1）求 （2）求
的取值范围； 中点
的轨迹的参数方程．
AB P
23．[选修 4— 5：不等式选讲] （10 分）
设函数 f x （1）画出 y
2x 1 x 1 ． f x 的图像；
， f x ≤ ax b ，求 a b 的最小值．
（2）当 x∈ 0，
eord 完美格式
. .
参考答案：
1 C
2 D
3 A
4 B 16.2
5 C
6 A
7 D
8 B
9 C
10 B
11 C
12 B
1
13.
14.
3 15. 3
2
17.(12 分 )
n 1
{ an}
解：（1）设
的公比为
q
，由题设得
a
n
q
.
4
由已知得 q
4 2
q ，解得 q 0 （舍去），q
n 1
2 或 q 2 .
n 1
故 a
n
( 2) 或 a
n
2 .
n
a
( 2)
n 1
1 ( 2)
m
（2）若
n
，则 S
n
. 由Sm 63 得 ( 2) 188 ，此方程没有正整数解 .
3
n 1
n
m
m 6
，解得
.
若 ，则 . 由 得
a
n
2 S
n
2 1 Sm 63 2 64
m 6
综上， 18. （12 分）
解：（1）第二种生产方式的效率更高 理由如下：
（i ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有
75%的工人完成生产任务所需时间至少
80 分钟，用第
.
二种生产方式的工人中， 有 75%的工人完成生产任务所需时间至多 方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为 式的工人完成生产任务平均所需时间低于
79 分钟. 因此第二种生产方式的效率更高
.
.
.
（ii ）由茎叶图可知： 用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为 （iii ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于
80 分钟，因此第二种生产方式的效率更高
（iv ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎 呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎
85.5 分钟， 用第二种生产 80 分钟；用第二种生产方 .
8 上的最多，关于茎 8 大致
73.5 分钟. 因此第二种生产方式的效率更高
7 上的最多，关于茎 7 大致呈对称分
.
布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生 产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高 以上给出了 4 种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分
.
79 81
（2）由茎叶图知 m
80 .
2
列联表如下：
超过
不超过
m
第一种生产方式
15
5
m
第二种生产方式
2
2
5 15
40(15 15 5 5)
，所以有 99%的把握认为两种生产方式的效率有差异
.
（3）由于
K
20 20 20 20
19. （12 分）
10 6.635
解：（1）由题设知 , 平面 CMD⊥平面 ABCD, 交线为 C D. 因为 BC⊥C D, BC 平面 ABCD, 所以 BC⊥平面 CMD, 故 BC⊥
eord 完美格式
. .
D M.
因为 M为 CD 上异于 C，D的点, 且 DC为直径，所以 D M⊥C M. 又 BC C M=C, 所以 D M⊥平面 BMC. 而 DM 平面 AMD, 故平面 AMD⊥平面 BMC.
（2）以 D为坐标原点 , DA 的方向为 x 轴正方向 , 建立如图所示的空间直角坐标系
D- xyz.
当三棱锥 M- ABC体积最大时， M为 CD 的中点 .
由题设得
D(0,0,0), A(2,0,0), B(2,2,0), C(0,2,0), M (0,1,1)
，
AM ( 2,1,1), AB (0, 2,0), DA (2,0,0)
设n
( x, y,z) 是平面 MAB的法向量 , 则
n AM 0, 即
2x y z 0,
n AB 2y 0. n (1,0,2)
0.
可取
.
DA
是平面 MCD的法向量 , 因此
cos n, DA
n DA 5 | n ||DA |
5
，
sin n, DA
2 5 5
， 2 5
所以面 MAB与面 MCD所成二面角的正弦值是
.
5
20. （12 分）
2
2
2
2
x
y
x y
1
1, 2
1
1
2
解：（1）设
，则 .
A(x , y ), B(x , y )
1
1
2
2
4
3
4
3
eord 完美格式
. .
y
1
y
2
两式相减，并由
k 得
x
1
x
2
x
1
x
2
y
1
y
2
0 k
.
4
x
1
3
x
2
y 1, 1
y
2
由题设知 ，于是
m
2
由题设得 0
2
k
3
1
.
3 . ① 4m
m k ，故 2
2
（2）由题意得 F (1,0) ，设 P(x3, y3 ) ，则
(x 1,y ) (x 1, y ) ( x 1,y ) (0,0) .
3
3
1
1
2
2
由（1）及题设得 x3 3 (x1 x2 ) 1, y3 (y1 y2 ) 2m 0 .
3
又点 P在 C
上，所以 m
P(1, ，从而 4
3
)，| FP | 2
3
.
2
于是
2
2
2
1
1
2
x
|FA |
(x 1)
1
x
.
y
1
(x 1)
1
3(1
4
) 2
2
x
2
| FB | 2
同理
.
2
1
| FA | | FB | 4 (x x ) 3
所以
1
2
.
2
故
，即
成等差数列 .
2 | FP | | FA | | FB |
设该数列的公差为 d，则
|FA |,| FP |,| FB |
1
2|d | || FB | | FA ||
| x
1
1
2
4x x
1 2
. ②
x |
2
(x x )
1
2
2
3 m
将
代入①得
2
k
4
1
.
eord 完美格式
. .
7
所以 l 的方程为
，代入 C的方程，并整理得
2
1 14x
4
0.
7x
y x
4 1
3 21 | d |
，代入②解得
.
x
故
1
x
2
2,x x
1 2
28
3 21
所以该数列的公差为
或
28
3 21
.
28
21.(12 分 )
28
x
a 0
（1）当
时，
f ( x) (2 x ) ln(1 x ) x2 f ( x)
，
ln(1 x ) 解：
.
1 x
x
x
，则 g (x)
.
2
x) 设函数 g( f ( x) ln(1 x )
1 x
1 x 0
当
(1 x)
g (x) 0
；当
x 0 g ( x) 0
. 故当
x 1
时，
g( x) g (0) 0
，且仅当
x 0
时，
时， 时，
g( x) 0
，从而
f (x) 0
，且仅当
x 0
时，
f (x ) 0
.
( 所以 f (x) 在
f (0)
又
1, )单调递增 . 1 x 0
时，
0
，故当
f (x) 0
；当
x 0
时，
f (x ) 0
.
a 0
（2）（i ）若 的极大值点矛盾 .
，由（ 1）知，当
x 0
时，
f ( x) (2 x ) ln(1 x ) x2 0 f (0)
，这与
x 0
是
f (x)
0
（ii
f (x)
h( x)
2 x ax
2
2x
ln(1 x)
2 x ax
2
a ）若
，设函数 .
1
2
| x | min{1, } 2 x ax 0 h( x) f (x)
由于当 时， ，故 与 符号相同 .
|a|
h(0)
又
f (0) 0 x 0
是
2
f ( x)
的极大值点当且仅当
2
2
2
x 0 h(x)
的极大值点 .
，故 是
1
h ( x)
1)
1 x
2( 2 x ax ) x2 (1 a2x
2 2
) x a (x ax4
2
a 6
.
2
(2 x ax ) (x 1)(ax x 2)
如果6 a 1
6a 果
0，则当 0 x
2 2
0
a x
，则
eord 完美格式
6a 1
，且| x |
4a
4 6 1 ax a
min{1,
0
存在根 1
时}，h (x) | a|
x1
0 ，故当 x 0，故 x 0 不是 h(x) 的极大值点 . | x | min{1,
( x1 , 0) ，且
1
} 如
时，
1 | a|
. .
h ( x) 0
，所以
x 0 h(x)
的极大值点 .
3
不是
x (x 24)
如果
，则
2
2
. 则当 时， ；当 时， .
x ( 1,0) h (x) 0 x (0,1) h (x) 0
(x 1)( x 6x 12)
x 0
所以
h( x)
的极大值点，从而
x 0
是
f (x)
的极大值点
是
综上， a
1
.
6
22．[ 选修 4—4：坐标系与参数方程 ] （10 分）
2
2
1
【解析】（1）
O
的直角坐标方程为
x y
．
l
当
时， 与
O
交于两点．
2
2
tan
当
时，记
k l
，则 的方程为
y kx 2 l O
交于两点当且仅当
． 与
|
2
| 1，解得
1 k
2
k 1 k 1
，即
( , )
或
( , 2 4
)
．
或
4 2
上，
的取值范围是
( ,
．
) 综
4 4 x t cos ,
（2）l 的参数方程为
为参数，
．
(t
y
2 t sin tA
tB
tP
t
A
P
B
)
4 t
t
tA
，且
4
tB
A B P t2 2 2t sin 1 0
．
设 ， ， 对应的参数分别为 ， ， ，则 ， 满足
2
于是
t
t
t
A
t
B
2 2 sin ， ．又点 的坐标 满足
tP 2 sin P (x, y)
tP 2 sin P (x, y) y
2 x
2 sin 2 ,
x t
cos ,
P
2 t sin .
P
(
以点 P 的轨迹的参数方程是
) 所
．
为参数，
y
23．[ 选修 4—5：不等式选讲 ] （10 分）
2 2
4
2
cos 2 2
4
3x, x
1
f (x)
1 , 2 x 1, y
f (x)
x 2, 【解析】（1）
3x, x eord 完美格式
2
的图像如图所示．
1.
. .
y
（2）由（ 1）知， a
f x
( )
的图像与
y
轴交点的纵坐标为
2
，且各部分所在直线斜率的最大值为
3
，故当且仅当
那么我们索性就做得更好，来给人笑吧！、现在你不玩命的学，以后命玩你。、我不知道年少轻狂，我只知道胜者为王。、不要做金钱、权利的奴隶；应学会做“金钱、权利”的主人。、b 2 3
且
得欣赏的风景，是自己奋斗的足迹。、压力不是有人比你努力，而是那些比你牛f (x) ax b [0, )
成立，因此
a b
的最小值为
5
欢迎您的光临，Wor 文档下载后可修改编辑双击可删除页眉页脚谢谢！希望您提出您宝贵的意见，你的意见是我进步的动力。赠语；1 、如果我们做与不做都会有人笑，如果做不好与做得好还会有人笑，时，
几倍的人依然比你努力。在
什么时候离光明最近？那就是你觉得黑暗太黑的时候。、最值eord 完美格式
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