2020北京市各城区一模数学试题分类汇编及答案——导数

2020北京市各城区一模数学试题分类汇编及答案——导数

YQ（19）（本小题14分）

2ax?a2?1已知函数f(x)?，其中a?0.

x2?1（Ⅰ）当a?1时，求曲线y?f(x)在原点处的切线方程；

（Ⅱ）若函数f(x)在[0,??)上存在最大值和最小值，求a的取值范围.

2(1?x2)（Ⅰ）解：当a?1时，f?(x)?2.

(x?1)2?切线的斜率k?f?(0)?2； f(0)?0

?曲线y?f(x)在原点处的切线方程为：y?2x. ……………5分 2a(x2?1)?(2ax?a2?1)2x（Ⅱ）f?(x)?

(x2?1)2?2ax2?（2?2a）x?2a?（2ax?1）(x?a)??……………7分

(x2?1)2(x2?1)2

（1）当a?0时，f?(x)?0?x1??a?0；x2?则f(x)、f?(x)随x的变化情况如下表：

1 ?0a

11?f(x)在（0,）上单调递增，在（,??）上单调递减，……………9分

aa 111x （0，） （，??） 0 aaaf?(x) ? ? 0 1f(x) a2?1 f() 递增 递减 a

法1：?f(x)的最大值为f()?a1a2……………10分

若f(x)存在最小值，则x?（0，??）时，f(x)?f(0)?a2?1恒成立,

2ax?a2?1即：2?a2?1x?1

a2?11?2ax?（a?1）x??在x?(0,??)恒成立，

2ax22a2?1??0.

2a?a?0,?a2?1?0，?0?a?1……………13分

所以a的取值范围为(0,1]. ……………14分

法2：?f(x)的最大值为f()?a； ……………10分

1a21时，2ax?2，2ax?a2?1?a2?1?0， a?x???时,f(x)?0；

当x?122即x?[0,]时，f(x)?[a?1,a]；

a1（0，a2] x?[，??)时，f(x)?a若f(x)存在最小值，则f(0)?a2?1?0，

y a2 a2?1 1 ax ?0?a?1

所以a的取值范围为(0,1]. ……………14分 用趋近说：?x???时,f(x)?0，论述不严谨，扣1分.

（2）当a?0时，f?(x)?0?x1??a?0；x2?y 1?0. a?a 0 a2 a2?1 ??） （?a，则f(x)、f?(x)随x的变化情况如下表：

x 0 （0，?a） 1 ax f?(x) f(x) - 递减 + f(?a)递增 ?f(x)在（0,?a）上单调递减，在（?a,??）上单调递增，a2?1

法1：?f(x)的最小值为f(?a)??1.

若f(x)存在最大值，则x?[0，??）时，f(x)?a2?1恒成立,

2ax?a2?1即：2?a2?1x?1

a2?11y ?2ax?（a?1）x??在x?(0,??)恒成立，

2ax2a2?12a?1 ??0,?a?0,?a?1?0，?a??1.

2a22?a x （??,?1]?(0,1]. 综上：a的取值范围是

法2：?f(x)的最小值为f(?a)??1；

?1 当x??a时，2ax??2a2，2ax?a2?1??a2?1?0，

?x???,f(x)?0；（论述不严谨，扣1分）

2即x?[0,?a]时，f(x)?[?1,a?1]；x?[?a，??)时，f(x)?[?1,0)

若f(x)存在最大值，则f(0)?a2?1?0，a??1.

（??,?1]?(0,1]. 综上：a的取值范围是

XC 19.（本小题满分14分）

设函数f(x)?alnx?x?(a?2)x，其中a∈R

2（Ⅰ）若曲线y?f(x)在点（2，f(2)）处切线的倾斜角为

?，求a的值； 42（Ⅱ）已知导函数f(x)在区间（1，e）上存在零点，证明:当x∈（1，e）时， f(x)＞-e

SJS 20. （本小题14分）

已知函数f(x)?x(x?0),g(x)?alnx(a?0)． （Ⅰ）若f(x)?g(x)恒成立，求实数a的取值范围；

2（1，1）（Ⅱ）当a?1时，过f(x)上一点作g(x)的切线，判断：可以作出多少条切线，并

说明理由．

=f(x)?g(x)?x?alnx(x?0) …………1分 解：（Ⅰ）令h(x）2a2x2?a2 所以h?(x)=2x??

xxa2x2?a2. …………3分 令h?(x)=?0，解得x?2x

当x变化时，h?(x),h(x)的变化情况如下表： aaa(0,)(,??)222x h?(x) – 0 +