x 1(??，-1-) a+ ↗ 1?1? a0 1(?1?,??) a— ↘ f（'x） （fx）1,??)． a综上所述，当a?0时，f(x)的单调增区间是???,???，无单调减区间；当a?0所以f(x)的单调增区间是(??，-1-)，单调减区间是(?1?时，f(x)
的单调减区间是(??，-1-)，单调增区间是(?1?的单调增区
间是(??，-1-)，单调减区间是(?1?（Ⅲ）解：方法一
因为f(x)?ex1a1a1,??)；当a?0时，f(x)a1a1,??)． a?ax?1?,x?R，
所以令f(x)?0，得ax?1?0. （1）当a?0时，方程无解，
此时函数f(x)无零点； （2）当a?0时，解得x??1， a此时函数f(x)有唯一的一个零点.
综上所述，当a?0时，函数f(x)无零点；当a?0时，函数f(x)有一个零点. 方法二
（1）当a?0时 因为f(x)?e?0，
所以函数f(x)无零点；
（2）当a?0时
x11?0，f(0)?1?0，f(x)在区间(?1?,??)单调递增， aa1所以f(x)在区间(?1?,??)内有且仅有唯一的零点；
a11若x?(??,?1?)，则ax?1?a(?1?)?1??a?0，
aax又因为ex?0，所以f(x)?e?ax?1??0．
因为-1-1f(x)(??，-1-)内没有零点． 即函数在区间
a故当a?0时，f(x)有且仅有唯一的零点．
（3）当a?0时
11?1?1?11因为f(?1?)?еa(?a)?0，f(1?)?aеa?0，
aa1,??)单调递减， a1所以f(x)在区间(?1?,??)内有且仅有唯一的零点；
a11若x?(??,?1?)，则ax?1?a(?1?)?1??a?0，
aax又因为ex?0，所以f(x)?e?ax?1??0．
并且f(x)在区间(?1?即函数f(x)在区间(??，-1-)内没有零点．
故当a?0时，f(x)有且仅有唯一的零点．
综上所述：当a?0时，函数f(x)无零点；当a?0时，函数f(x)有一个零点.
MTG 20.（本小题满分15分）已知函数f(x)?sinx?lnx?1。 （Ⅰ）求f(x)在点（，f())处的切线方程；
1a??22（Ⅱ）求证：f(x)在(0,?)上存在唯一的极大值； （Ⅲ）直接写出函数f(x)在(0,2?)上的零点个数。 解：（Ⅰ）f()?1?ln??22?1?ln?2………………………………1分
f/(x)?cosx?1?2?f/()?……………………………………3分 x2?所以，f(x)在点（，f())处的切线方程
??22为y?ln?2??2?(x?)?y?x?ln?1………………5分 ?2?221， x（Ⅱ）证明：f/(x)?cosx?设g(x)?f/(x)?cosx?11?g/(x)??sinx?2?0…………7分 xx?21f/(x)在(0,?)上递减，f/()??0,f/(?)??1??0
2??由零点存在定理可知，存在x0?(?2,?)使得f/(x0)?0……………………10分
//当x?(0,x0),f(x)?0，f(x)递增；当x?(x0,?),f(x)?0，f(x)递减
所以f(x)在(0,?)上存在唯一的极大值………………………12分 （Ⅲ）函数f(x)在(0,2?)上有3个零点。……………15分
【由（Ⅱ）可知，f(x)在(0,?)上增，f(1)?sin1?1?0,f()?ln?0，
222??由零点存在定理有一个零点x1；f(x)在(无零点；f(x)在(?,?2,?)上先增后减，而f(?)?ln??1?0
3?3?3?)上先减后增，且f()?ln?2?0，有一个零点x2 222f(x)在(3?3?3?,2?)上增，且f()?ln?2?0，f(2?)?ln(2?)?1?0， 2有一个零点x3】 22
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