高三第一轮复习第2讲函数及其表示
1． 函数、映射、对应的概念
（1） 函数：设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中
的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应。那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)， x∈A 其中x叫做自变量，自变量x的取值范围A叫做定义域，与x的值相对应的值y叫做函数值，函数值的集合{f(x)︳x∈A}叫做函数的值域。
对于函数概念的学习主要抓住：A、B必须是非空的数集；且对于集合．．．．A．中的任意．．．．一个数，在集合中只有有唯一确定的数f(x)和它对应； ．．．x．．．．．B．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
（2） 映射：与函数概念的区别在映射建立在两个非空集合间，不要求是数的集合。因此
可以说函数是一种特殊的映射，特殊在函数是建立在两个非空数集之间的映射。
（3） 对应：两个集合之间的对应有一对一，多对一，一对多，其中函数和映射是一对一
或多对一的对应。
?x?3,x?10例1.若f(x)??,则f(6)=_______.
f[f(x?6)],x?10?例1.(1)从集合A={a，b，c}到集合B={x，y}可以建立的映射的个数是（ ）
（A）4 （B）6 （C）8 （D）10
(2)集合A={a,b,c},集合B={-1，0，1}，f是A到B的映射，且满足条件f(a)+f(b)+f(c)=0,这样的映射f共有（ ） A 6个 B 7个 C 8个 D 9个 2． 函数的三要素：定义域A，值域B，对应关系f 3.函数表示方法：解析法、列表法、图象法 （1）用解析法表示函数关系
优点：简单明了。能从解析式清楚看到两个变量之间的全部相依关系，并且适合进行理论分析和推导计算。
缺点：在求对应值时，有时要做较复杂的计算。 （2）用列表表示函数关系
优点：对于表中自变量的每一个值，可以不通过计算，直接把函数值找到，查询时很方便。 缺点：表中不能把所有自变量与函数对应值全部列出，而且从表中看不出变量间的对应规律。 （3）用图象法表示函数关系
优点：形象直观，可以形象地反映出函数关系变化的趋势和某些性质，把抽象的函数概念形象化。
缺点：从自变量的值常常难以找到对应的函数的准确值。
函数的三种基本表示方法，各有各的优点和缺点，因此，要根据不同问题与需要，灵活地采用不同的方法。在数学或其他科学研究与应用上，有时把这三种方法结合起来使用，即由已知的函数解析式，列出自变量与对应的函数值的表格，再画出它的图象。 4． 函数相等的条件：定义域相同，对应法则相同。
例1．下列函数中哪个与函数y?x(x?0)是同一个函数（ ） A y =(
x2x) B y= C y?3x3 D y=x2
x2
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?t,t?(0,??);x2例2．y?与f(x)??是相同的函数吗?
x??t,t?(??,0).5．函数解析式的求法
（1）配凑法
例. 若f(x?1)?x2?2x?3，求f(x)。
若f(x?（2）换元法
例. 已知f(x?1)?x?2x，求f(x?1)的解析式。
11)?x2?2，求f(x)。 xx1?x1?x2)? 已知f(，求函数f(x)的解析式。 21?x1?x(3) 待定系数法
例. 设函数f(x)是一次函数，且f[f(x)]?4x?3,求函数f(x)的解析式。
已知f（x）为二次函数，且f（x+1）+f（x－1）=2x2－4x，求函数f(x)的解析式。 (4) 消参法
例. 若f(x)满足f(x)?2f()?x，求f(x)。 若f(x)满足f(x)-2f(-x)=x?x?1, 求f(x)。
6． 分段函数
（1） 涉及分段函数的函数值的问题：主要抓住每一段自变量的范围，多数情况下需要对
自变量进行讨论。 例1.已知函数f(x)??21x?1(x?0)，则不等式x?(x?2)f(x?2)?5的解集是 ．
??1(x?0)2??sin(?x),?1?x?0例2. 函数f(x)??x?1，若f(1)+f(a)=2，则a的所有可能值为
??e,x?0___________________。
例3．对a,b?R,记max{a,b}??值是________________.
?a,a?b,函数f(x)?max{|x?1|,|x?2}|(x?R)的最小
?b,a?b?cx?1,0?x?c92例4．已知函数f(x)???8x,满足f(c)?.
8?2?1,c?x?1①求常数c的值；②解不等式f(x)?2?1 8第2页 共3页
(2) 会画分段函数的图象 (3) 分段函数的单调性(提前) 例。已知f(x)???(3a?1)x?4a,x?1是(??,??)上的减函数，那么的a取值范围是______.
?logax,x?1第3页 共3页
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