2014-2015学年江苏省南京九中高 三（上）第三次月考数学试卷
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．
2
1．已知集合A={x|x﹣2x＞0}，B={x|1＜x＜}，则A∩B= ． 2．若z=
，其中i为虚数单位，则z的共轭复数= ．
3．执行如图所示流程图，若输入x=4，则输出y的值为 ．
4．某大型超市销售A，B，C三种品牌的牛奶，牛奶的数量分别为12000盒、8000盒、4000盒，现用分层抽样的方法从中抽取一个容量为120的样本，则从B种品牌的牛奶中抽取的样本个数为 ． 5．曲线
以点（1，﹣）为切点的切线的倾斜角为 ．
6．在某招聘口试中，要从5道题中随机抽出3道进行回答，答对其中的2道题就获得优秀，答对其中的1道题就获得及格．若某应聘者只会回答5道题中的2道，则他获得及格或优秀的概率是 ．
7．已知函数f（x）=
，若f（m）+f（1）=0，则实数m的值等于 ．
8．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，给定下列四个命题：
1
①若m⊥n，n?α，则m⊥α； ②若m⊥α，m?β，则α⊥β； ③若m⊥α，n⊥α，则m∥n；
④若m?α，n?β，α∥β，则m∥n． 其中真命题的序号为 ．
9．在平行四边形ABCD中，已知AB=9，BC=6，
=2
，
?
=6，则
与
夹角的余弦
值为 ．
10．在等差数列{an}和等比数列{bn}中，已知a1=﹣8，a2=﹣2，b1=1，b2=2，那么满足an=bn的n的所有取值构成的集合是 ．
11．已知a，b为正数且a＞b，则a+
12．已知椭圆
+
=1（a＞b＞0）的中心、右焦点、右顶点及右准线与x轴的交点依次为
2
的最小值是 ．
O、F、G、H，当
取得最大值时椭圆的离心率为 （用数字作答）．
13．已知函数y=sin（ωx+）（ω＞0）的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，若
存在最小正数m，使得函数f（x）的图象向左平移m个单位后所对应的函数是偶函数，则该
偶函数在[0，π]上的单调增区间为 ．
14．已知二次函数f（x）的两个零点分别为（A）：集合A中的元素个数，若“
实数a的取值范围是 ．
二、解答题：本大题共6小题，共计70分． 15．在△ABC中，已知向量=（sinA，1），=（cosA，（1）若sin（ω﹣A）=，0＜ω＜
），且∥，其中
．
，
（0＜b＜a+1），f（0）=b．定义card”是“f（x）＞0”的充要条件，则
2
，求cosω的值；
（2）若BC=2，AC+AB=4，求△ABC的面积．
16．如图，矩形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=2，CD=4，ED=2，M为CE的中点，N为CD中点． （1）求证：平面BMN∥平面ADEF；
2
（2）求证：平面BCE⊥平面BDE； （3）求点D到平面BEC的距离．
17．2014年8月以“分享青春，共筑未来”为口号的青奥会在江苏南京举行，为此某商店经销一种青奥会纪念徽章，每枚徽章的成本为30元，并且每卖出一枚徽章需向相关部门上缴a元（a为常数，2≤a≤5）．设每枚徽章的售价为x元（35≤a≤41），根据市场调查，日
x
销售量与e（e为自然对数的底数）成反比例．已知当每枚徽章的售价为40元时，日销售量为10枚．
（1）求该商店的日利润L（x）与每枚徽章的售价x的函数关系式；
（2）当每枚徽章的售价为多少元时，该商店的日利润L（x）最大？并求出L（x）的最大值．
22
18．已知圆O的方程为x+y=25，设点P（x1，y1），直线m：x1x+y1y=25． （1）若点P在圆O内，试判断直线m与圆O的位置关系；
（2）若点P在圆O上，且x1=3，y1＞0，过点P作直线PA，PB分别交圆O于两点A，B，且直线PA，PB的斜率互为相反数．
①若直线PA过点O，求tan∠APB的值；
②试问：不论直线PA的斜率怎样变化，直线AB的斜率是否总为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
19．已知数列{an}中，a1，a2，…，ak是以4为首项、﹣2为公差的等差数列，ak+1，ak+2，…，a2k是以为首项、为公比的等比数列（k≥3，k∈N），且对任意的n∈N，都有an+2k=an成立，Sn是数列{an}的前n项和． （1）当k=5时，求a48的值；
（2）判断是否存在k，使a64k+3≥230成立，若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
20．已知函数f（x）=（x﹣c）|x﹣c|，g（x）=alnx． （1）试判断函数f（x）与g（x）的单调性； （2）记F（x）=f（x）+g（x），a＜0，c＞0． ①当c=+1时，若F（x）≥对x∈（c，+∞）恒成立，求实数a的取值范围； ②设函数F（x）的图象在点P（x1，F（x1）），Q（x2，F（x2））处的切线分别为l1，l2，若x1=
3
*
*
，x2=c，且l1⊥l2，求实数c的最小值．
四、（附加题共40分）【选做题】本题包括21、22、23、24四小题，请选定其中两题作答．若多做，则按作答的前两题评分．【选修4-1：几何证明选讲】 21．如图，直线PA与圆O相切于点A，PBC是过点O的割线，∠APC的角平分线交AC于点E，交AB于点D，点H是线段ED的中点，连接AH并延长PC交于点F．证明：A，E，F，D四点共圆．
【选修4-2：矩阵与变换】 22．已知=
为矩阵A=
属于特征值λ的一个特征向量．
（Ⅰ）求实数a，λ的值； （Ⅱ）求矩阵A的逆矩阵．
【选修4-4：坐标系与参数方程】
2014?沈阳二模）在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的参数方程为
（t为参数），圆C的极坐标方程为
ρ+2cosθ=0．
（Ⅰ）将直线l的参数方程化为普通方程，圆C的极坐标方程化为直角坐标方程； （Ⅱ）求圆C上的点到直线l的距离的最小值．
【选修4-5：不等式选讲】
2014秋?鼓楼区校级月考）已知关于x的不等式|x+1|+|x﹣1|≤4m+对m＞0恒成立，求实数x的取值范围． 五、【必做题】第25题，第26题，每题10分，共计20分．
25．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，侧面PBC是等边三角形，平面PBC⊥平面ABCD，BC=2，AB=，∠ABC=45°． （1）求异面直线BD，PC所成角的余弦值；
（2）点E在线段PC上，AE与平面PAB所成角的正切值等于
，求
的值．
2
4
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