1993年第4届“希望杯”全国数学邀请赛试卷（初二第1试）

1993年第4届“希望杯”全国数学邀请赛试卷（初二第1试）

一、选择题（共15小题，每小题1分，满分15分） 1．（1分）如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（ ） A．

B．ab＜1

C．

D．

2．（1分）已知四个命题：①1是1的平方根．②负数没有立方根． ③无限小数不一定是无理数． ④A．1

一定没有意义．其中正确的命题的个数是（ ） B．2

，

C．3

，0.236，

D．4

，3.1416，﹣π，

，

3．（1分）已知8个数：

，其中无理数的个数是（ ）

A．3 4．（1分）若A＝A．a+3

2

B．4 C．5 D．6

，A的算术平方根是（ ） B．（a+3）

2

2

C．（a+9）

22

D．a+9

2

5．（1分）下列各组数可以成为三角形的三边长度的是（ ） A．1，2，3

C．a，b，c，其中a+b＞c

2

B．a+1，a+2，a+3，其中a＞0 D．1，m，n，其中1＜m＜n

6．（1分）方程x+|x|﹣6＝0的最大根与最小根的差是（ ） A．6

B．5

C．4

D．3

7．（1分）等腰三角形的某个内角的外角是130°，那么这个三角形的三个内角的大小是（ ） A．50°，50°，80°

B．50°，50°，80°或130°，25°，25° C．50°，65°，65°

D．50°，50°，80°或50°，65°，65° 8．（1分）如果x+y＝A．

B．

，x﹣y＝

C．

，那么xy的值是（ ）

D．

9．（1分）如图所示，△ABC中，AB＝AC，过AC上一点作DE⊥AC，EF⊥BC，若∠BDE＝140°，则∠DEF＝（ ）

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A．55°

B．60°

C．65°

D．70°

化简得（ ）

C．5+x

D．5﹣x

10．（1分）已知﹣＜x＜1，将A．3﹣3x

B．3+3x

11．（1分）如图，在△ABC中，AB＝AC，G是三角形的重心，那么图中全等的三角形的对数是（ ）

A．5

B．6

2

C．7 D．8

12．（1分）关于x的一元二次方程2x+（k﹣4）x+6＝0没有实数根，则k的最小整数是（ ） A．﹣1

B．2

C．3

D．5

13．（1分）对于三边的长是三个连续自然数的任意三角形，在下列四个命题中①周长能被2整除．②周长是奇数．③周长能被3整除．④周长大于10．正确的命题的个数是（ ） A．1

2

B．2

2

C．3 D．4

14．（1分）若方程9x﹣6（a+1）x+a﹣3＝0的两根之积等于1，则a的值是（ ） A．

B．

C．

D．

15．（1分）有下列四个命题：

①两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形一定是全等三角形． ②两边和第三边上的高对应相等的两个锐角三角形一定是全等三角形． ③两边和第三边上的高对应相等的两个三角形是全等三角形．

④两边和其中一边所对的角对应相等的两个三角形不一定是全等三角形．其中正确的是（ ） A．①，②

B．②，③

C．③，④

D．②，④

二、填空题（共15小题，每小题1分，满分15分）

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16．（1分）某自然数的平方是一个四位数，千位数字是4，个位数字是5，这个数是 ． 17．（1分）实数x满足x+

＝10，则

的值为 ．

18．（1分）设10个数：195.5，196.5，197.5，198.5，199.5，200，200.5，201，201.5，202.5的平均数为A，则10A＝ ．

19．（1分）如果实数x、y满足2x﹣6xy+9y﹣4x+4＝0，那么

2

2

＝ ．

20．（1分）设△ABC的三边a，b，c的长度均为自然数，且a≤b≤c，a+b+c＝13，则以a，b，c为三边的三角形共有 个． 21．（1分）

+

+

+……+

＝ ．

22．（1分）当0＜x＜2时，

2

2

＝ ．

23．（1分）已知方程x+（2m+1）x+（m+m+1）＝0没有实数根，那么m为 ． 24．（1分）已知a，b，c，d满足a＜﹣1＜b＜0＜c＜1＜d，且|a+1|＝|b+1|，|1﹣c|＝|1﹣d|，那么a+b+c+d＝ ．

25．（1分）如图，在△ABC中，AE是∠BAC的外角的平分线，D是AE上任意一点，则AB+AC DB+DC．（用“＞”、“＜”、“＝”号连接）

26．（1分）如果x﹣y＝

+1，y﹣z＝

﹣1，那么x+y+z﹣xy﹣yz﹣zx＝ ．

，则u﹣uv+v＝ ．

2

2

2

2

2

27．（1分）若u、v满足v＝

28．（1分）如图，B、C、D在同一条直线上，且AB＝BC＝AC，CD＝DE＝EC，若BM：ME＝r，则DN：NA＝ ．

29．（1分）设方程x﹣y＝1993的整数解为α，β，则|αβ|＝ ．

2

2

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30．（1分）若，x+＝3，则＝ ．

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1993年第4届“希望杯”全国数学邀请赛试卷（初二第

1试）

参考答案与试题解析

一、选择题（共15小题，每小题1分，满分15分） 1．（1分）如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（ ） A．

B．ab＜1

C．

D．

【分析】根据不等式的性质分析判断． 【解答】解：A、如果a＜b＜0，则B、ab＞1，故不成立； C、

，故不成立；

．

；故不成立；

D、不等式成立的是故选：D．

【点评】本题考查的实际上就是不等式的性质：

（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变； （2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变； （3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．

2．（1分）已知四个命题：①1是1的平方根．②负数没有立方根． ③无限小数不一定是无理数． ④A．1

一定没有意义．其中正确的命题的个数是（ ） B．2

C．3

D．4

【分析】1的平方根是1或﹣1；﹣1的立方根是﹣1，所以负数有立方根；无限循环小数是有理数；a≤0④中的根式有意义．

【解答】解：1的平方根是1或﹣1，故①正确． ﹣1的立方根是﹣1，所以负数有立方根，故②错误． 无限循环小数是有理数，所以③正确． 当a≤0④中的根式有意义． 所以①③两项正确． 故选：B．

【点评】本题考查对平方根，立方根，无理数意义的理解．

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