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C．D，连接CP、DP，过点Q任作一直线AB交⊙O1和⊙O2于点A．B，连接AP、BP、AC．DB，且AC与DB的延长线交于点E． （1）求证：； （2）若PQ=2，试求∠E度数．
考点：相交两圆的性质；三角形内角和定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质；解直角三角形。
解答：（1）证明：∵⊙O1的半径r1=2，⊙O2的半径r2=， ∴PC=4，PD=2， ∵CD⊥PQ，
∴∠PQC=∠PQD=90°，
∴PC．PD分别是⊙O1、⊙O2的直径， 在⊙O1中，∠PAB=∠PCD， 在⊙O2中，∠PBA=∠PDC， ∴△PAB∽△PCD， ∴===， 即=．
（2）解：在Rt△PCQ中，∵PC=2r1=4，PQ=2， ∴cos∠CPQ=， ∴∠CPQ=60°，
∵在Rt△PDQ中，PD=2r2=2，PQ=2， ∴sin∠PDQ=， ∴∠PDQ=45°，
∴∠CAQ=∠CPQ=60°，∠PBQ=∠PDQ=45°， 又∵PD是⊙O2的直径， ∴∠PBD=90°，
∴∠ABE=90°﹣∠PBQ=45°
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在△EAB中，∴∠E=180°﹣∠CAQ﹣∠ABE=75°， 答：∠E的度数是75°． 24．（2018宜宾）如图，在△ABC中，已知AB=AC=5，BC=6，且
△ABC≌△DEF，将△DEF与△ABC重合在一起，△ABC不动，△ABC不动，△DEF运动，并满足：点E在边BC上沿B到C的方向运动，且DE、始终经过点A，EF与AC交于M点． （1）求证：△ABE∽△ECM；
（2）探究：在△DEF运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出BE的长；若不能，请说明理由； （3）当线段AM最短时，求重叠部分的面积．
考点：相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；全等三角形的判定与性质；勾股定理。
解答：（1）证明：∵AB=AC， ∴∠B=∠C，
∵△ABC≌△DEF， ∴∠AEF=∠B，
又∵∠AEF+∠CEM=∠AEC=∠B+∠BAE， ∴∠CEM=∠BAE， ∴△ABE∽△ECM；
（2）解：∵∠AEF=∠B=∠C，且∠AME＞∠C， ∴∠AME＞∠AEF， ∴AE≠AM；
当AE=EM时，则△ABE≌△ECM， ∴CE=AB=5，
∴BE=BC﹣EC=6﹣5=1，
当AM=EM时，则∠MAE=∠MEA， ∴∠MAE+∠BAE=∠MEA+∠CEM，
. .
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即∠CAB=∠CEA， 又∵∠C=∠C， ∴△CAE∽△CBA， ∴， ∴CE=
，
∴BE=6﹣=； （3）解：设BE=x， 又∵△ABE∽△ECM， ∴， 即：
，
2
∴CM=﹣+x=﹣（x﹣3）+， ∴AM=﹣5﹣CM═（x﹣3）+， ∴当x=3时，AM最短为， 又∵当BE=x=3=BC时， ∴点E为BC的中点， ∴AE⊥BC， ∴AE==4， 此时，EF⊥AC， ∴EM==， S△AEM=
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