圆锥曲线中离心率及其范围的求解专题
【高考要求】
1．熟练掌握三种圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质，并灵活运用它们解决相关的问题。 2．掌握解析几何中有关离心率及其范围等问题的求解策略；
3．灵活运用教学中的一些重要的思想方法（如数形结合的思想、函数和方程的思想、分类讨论思想、等价转化的思想学）解决问题。
【热点透析】
与圆锥曲线离心率及其范围有关的问题的讨论常用以下方法解决：
（1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系；
（2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的离心率（a,b,c）适合的不等式（组），通过解不等式组得出离心率的变化范围；
（3）函数值域求解法：把所讨论的离心率作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求离心率的变化范围。
（4）利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思；
（5）结合参数方程，利用三角函数的有界性。直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特点是均含有三角式。因此，它们的应用价值在于：
① 通过参数θ简明地表示曲线上点的坐标；
② 利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解范围等问题； （6）构造一个二次方程，利用判别式??0。 2.解题时所使用的数学思想方法。
（1）数形结合的思想方法。一是要注意画图，草图虽不要求精确，但必须正确，特别是其中各种量之间的大小和位置关系不能倒置；二是要会把几何图形的特征用代数方法表示出来，反之应由代数量确定几何特征，三要注意用几何方法直观解题。
（2）转化的思想方汉。如方程与图形间的转化、求曲线交点问题与解方程组之间的转化，实际问题向数学问题的转化，动点与不动点间的转化。
（3）函数与方程的思想，如解二元二次方程组、方程的根及根与系数的关系、求最值中的一元二次函数知识等。
（4）分类讨论的思想方法，如对椭圆、双曲线定义的讨论、对三条曲线的标准方程的讨论等。
【题型分析】
x2y21. 已知双曲线C1:2?2?1(a?0,b?0)的左、右焦点分别为F1、F2，抛物线C2的顶点在原点，
ab准线与双曲线C1的左准线重合，若双曲线C1与抛物线C2的交点P满足PF2心率为（ ）
?F1F2，则双曲线C1的离
A．2 B．3
C．23 3
D．22
a2解：由已知可得抛物线的准线为直线x??c4a2，∴ 方程为y?x；
c2圆锥曲线的相关离心率问题 共12页 本页为第- 1 -页
b2b224a2b222由双曲线可知P(c, )，∴ ()??c，∴ b?2a?2?2，∴ e2?1?2，e?3．aacax2y22．椭圆2?2?1（a?b?0）的两个焦点分别为F、F2，以F1、F2为边作正三角形，若椭圆恰
ab好平分三角形的另两边，则椭圆的离心率e为 （ B ）
A．3?13?2 B．3?1 C．4(2?3) D． 24解析：设点P为椭圆上且平分正三角形一边的点，如图， 由平面几何知识可得|PF2所以由椭圆的定义及eyPF1OF2|:|PF1|:|F1F2|?1:3:2，
?c得： axe?|F1F2|2c2???3?1，故选B． 2a|PF1|?|PF2|3?1 变式提醒：如果将椭圆改为双曲线，其它条件不变，不难得出离心率e?3?1．
3. （09
x2y2浙江理）过双曲线2?2?1(a?0,b?0)的右顶点A作斜率为?1的直线，该直线与双曲线
ab1BC，则双曲线的离心率是 ( ) 23 C．5 D．10 AB?x?y?a?0，直线与两渐近线的交点为B，C，
的两条渐近线的交点分别为B,C．若
A．2 B．【解析】对于
A?a,0?，则直线方程为
?a2ab?a2ab2a2b2a2bab??abB?,,C(,?)BC?(,?),AB??,，???， 2222a?ba?ba?ba?ba?ba?ba?ba?b????因此2AB?BC,?4a2?b2,?e?5．答案：C
x2y24. （09江西理）过椭圆2?2?1(a?b?0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，
ab若?F1PF2?60，则椭圆的离心率为（ ） A．22 B．311 C． D． 323b2)，再由?F1PF2?60【解析】因为P(?c,?a3b2c3?2a,从而可得e??有，故选B aa3x2y25.（08陕西理）双曲线2?2?1（a?0，b?0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F1作倾斜角为30ab圆锥曲线的相关离心率问题 共12页 本页为第- 2 -页
的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为（ B ）
A．
6
B．3
C．2
D．3 3x2y26.（08浙江理）若双曲线2?2?1的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2,则双曲线的离心率是（D）
ab （A）3 （B）5 （C）7.（08全国一理）在△ABC中，AB该椭圆的离心率e
8.（10辽宁文）设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B,如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂
直，那么此双曲线的离心率为（ ）
3 （D）5
7．若以A，B为焦点的椭圆经过点C，则18?BC，cosB??? ．
3 8（A）2 （B）3 （C）3?15?1 （D） 22x2y2解析：选D.不妨设双曲线的焦点在x轴上，设其方程为：2?2?1(a?0,b?0)，
abbbbb则一个焦点为F(c,0),B(0,b) 一条渐近线斜率为：，直线FB的斜率为：?，??(?)??1，
acac?b2?ac c2?a2?ac?0，解得e?c5?1. ?a29.（10全国卷1理）已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且BF＝2FD，则C的离心率为________．
解析：答案：
3
3
x2如图，设椭圆的标准方程为2ay2＋2b＝1(a＞b＞0)不妨设B为上顶点，F为右焦点，设D(x，y)．由
BF＝2FD，得(c，－b)＝2(x－c，y)，
3c?x???c?2(x?c)3cb?2即?，解得?，D(，－)．
22??b?2y?y??b??2圆锥曲线的相关离心率问题 共12页 本页为第- 3 -页
3b(c)2(?)22由D在椭圆上得：22?ab2【解析1】c2＝1， ∴2a＝
31c，∴e＝＝.
33auuruur322如图，|BF|?b?c?a, 作DD1?y轴于点D1,则由BF?2FD，得 3333c|OF||BF|2??,所以|DD1|?|OF|?c,即xD?,由椭圆的第二定义得
222|DD1||BD|3a23c3c2|FD|?e(?)?a?c22a
3c23又由|BF|?2|FD|,得a?2a? ,?e?a3【解析2】设椭圆方程为第一标准形式
x2y2??1，设D?x2,y2?，Fa2b2分 BD所成的比为2，
xc?3y?b3?0?b0?2x2b?2y233b?x2?xc?c;yc??y2?c???，代入
1?2221?22229c21b23， ??1?e?224a4b3
10. （07全国2理）设
F1，F2分别是双曲线
x2y2?22ab的左、右焦点，若双曲线上存在点
A，使
?F1AF2?90且
AF1?3AF2，则双曲线的离心率为（ B ） A．5 2 B．10 2 C．15 2D．5 ìAF1-AF2=2AF2=2a???a解í222???(AF1)+(AF2)=(2c)2c?e1010 2x2y2o11. 椭圆2?2?1(a?0,b?0)的左焦点为F，若过点F且倾斜角为45的直线与椭圆交于A、B两点
ab且F分向量BA的比为2/3，椭圆的离心率e为: 。
本题通法是设直线方程，将其与椭圆方程联立，借助韦达定理将向量比转化为横坐标的比。思路简单，运算繁琐。下面介绍两种简单解法。
解法（一）：设点A
?xA,yA?，B?xB,yB?，由焦半径公式可得
a?exA3?，
a?exB2圆锥曲线的相关离心率问题 共12页 本页为第- 4 -页
则2(a?exA)?3(a?exB)，变形2(a?exA?a?exB)?a?exB，
因为直线倾斜角为
所以
2e(xA?xB)?a?exB45o，所以有
2e?22AB?AB25，所以
e?25
提示：本解法主要运用了圆锥曲线焦半径公式，借助焦半径公式将向量比转化为横坐标的关系。焦半径是圆锥曲线中的重要线段，巧妙地运用它解题，可以化繁为简，提高解题效率。一般来说，如果题目中涉及的弦如果为焦点弦，应优先考虑焦半径公式。 解法（二）：
BE?112BF??AB ee5113AD?AF??AB
ee5AC??2AB2 AD?BE??AC
13122?AB??AB?ABe5e52e?25
12. （10辽宁理）(20)（本小题满分12分）
x2y2设椭圆C：2?2?1(a?b?0)的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于A，B两点，直线l
ab的倾斜角为60, 解：
设
o
AF?2FB.椭圆C的离心率 ；
A(x1,y1),B(x2,y2)，由题意知y1＜0，y2＞0.
y?3(x?c)，其中c?a2?b2. （Ⅰ）直线l的方程为
?y?3(x?c),?222242联立?x2得(3a?b)y?23bcy?3b?0 y?2?2?1b?a圆锥曲线的相关离心率问题 共12页 本页为第- 5 -页
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