第六章 统计量及其抽样分布
6.1 调节一个装瓶机使其对每个瓶子的灌装量均值为?盎司，通过观察这台装瓶机对每个瓶子的灌装量服从标准差??1.0盎司的正态分布。随机抽取由这台机器灌装的9个瓶子形成一个样本，并测定每个瓶子的灌装量。试确定样本均值偏离总体均值不超过0.3盎司的概率。 解：总体方差知道的情况下，均值的抽样分布服从N标准正态分布：z=??,?n的正态分布，由正态分布，标准化得到
2?x??～N?0,1?，因此，样本均值不超过总体均值的概率P为：
?n?x????0.3x??0.3?0.3?P?x???0.3?=P?????=P??
?n?n19?n19????=P??0.9?z?0.9?=2??0.9?-1，查标准正态分布表得??0.9?=0.8159
因此，Px???0.3=0.6318
???Y????0.3x??0.3?0.3????6.2 P?Y???0.3?=P?=P??? ??n?n?1n?n1n????=P|z|?0.3n=2?0.3n?1=0.95
查表得：0.3n?1.96 因此n=43
6.3 Z1，Z2，……，Z6表示从标准正态总体中随机抽取的容量，n=6的一个样本，试确定常数b，使?62?得P??Zi?b??0.95
?i?1?解：由于卡方分布是由标准正态分布的平方和构成的： 设Z1，Z2，……，Zn是来自总体N(0,1)的样本，则统计量
2?2?Z12?Z2?2 ?Zn????服从自由度为n的χ2分布，记为χ2～ χ2（n） 因此，令???Z，则???Z22i2i?1i?1662i?62???6?，那么由概率P??Zi?b??0.95，可知：
?i?1?2b=?12?0.95?6?，查概率表得：b=12.59
6.4 在习题6.1中，假定装瓶机对瓶子的灌装量服从方差?2?1的标准正态分布。假定我们计划随机抽取10个瓶子组成样本，观测每个瓶子的灌装量，得到10个观测值，用这10个观测值我们可以求出样
1n22(Yi?Y)2)，确定一个合适的范围使得有较大的概率保证S2落入其中是有用的，本方差S(S??n?1i?1试求b1，b2，使得 p(b1?S2?b2)?0.90
解：更加样本方差的抽样分布知识可知，样本统计量：
(n?1s)2?2~?2(n?1 )此处，n=10，?2?1，所以统计量
(n?1)s2?2(10?1)s2??9s2~?2(n?1)
1根据卡方分布的可知：
P?b1?S2?b2??P?9b1?9S2?9b2??0.90
又因为：
1
2P??12??2?n?1??9S2???2?n?1???1??
因此：
2P?9b1?9S2?9b2??P??12??2?n?1??9S2???2?n?1???1???0.90 2?P?9b1?9S2?9b2??P??12??2?n?1??9S2???2?n?1??
22?P??0.95?9??9S2??0.05?9???0.90
则：
,b2?922查概率表：?0.95?9?=3.325，?0.05?9?=19.919，则
?9b1??20.95?9?,9b2???9??b1?20.052?0.95?9?2?0.05?9?9
b?20.95?9??20.05?9?1?9=0.369，b2?9=1.88
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