A
中国教育学会中学数学教学专业委员会
“《数学周报》杯”2009年全国初中数学竞赛试题参考答案
一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）
1．已知非零实数a，b 满足 2a?4?b?2?(a?3)b2?4?2a，则a?b等于（ ）．
（A）－1 （B）0 （C）1 （D）2 【答】C．
解：由题设知a≥3，所以，题设的等式为b?2?(a?3)b2?0，于是
a?3，b??2，从而a?b＝1．
2．如图，菱形ABCD的边长为a，点O是对角线AC上的一点，且
OA＝a，OB＝OC＝OD＝1，则a等于（ ）． （A）
5?15?2 （B）12 （C）1 （D）2
（第2题） 【答】A．
解：因为△BOC ∽ △ABC，所以BOBCAB?AC，即
1a?aa?1， 所以， a2?a?1?0．
由a?0，解得a?1?52． 3．将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先
页脚内容5后投掷两次，记第一次掷出的点数为a，第二次掷出的点数为b，则使关于
x，y的方程组??ax?by?3，2y?2 只有正数解的概率为（ ）．
?x? （A）
112 （B）25139 （C）18 （D）36 【答】D．
解：当2a?b?0时，方程组无解．
?6?2b当2a?b?0时，方程组的解为??x??2a?b,?2
??y?a?32a?b.?6??2a?b?0,?2a?b?0,由已知，得?2b??0,??2a?b即??a?3??3?2a?32,或?a?2,
??2a?b?0,????b?3,??b?3.由a，b的实际意义为1，2，3，4，5，6，可得
??a?2，3，4，5，6，共有 5×2＝10种情况；或??b?1，2，?a?1，共3?b?4，5，6，种情况． 又掷两次骰子出现的基本事件共6×6＝36种情况，故所求的概率为
1336． 4．如图1所示，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，?B?90?. 动点P从点
B出发，沿梯形的边由B→C→D→A运动. 设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y. 把y看作x的函数，函数的图像如图2所示，则△ABC的面积为（ ）．
（A）10 （B）16 （C）18 （D）32
图 图 【答】B．1 （第2 4题） 解：根据图像可得BC＝4，CD＝5，DA＝5，进而求得AB＝8，故
S1△ABC＝2×8×4＝16.
5．关于x，y的方程x2?xy?2y2?29的整数解（x，y）的组数为（ （A）2组 （B）3组 （C）4组 （D）无穷多组 【答】C．
解：可将原方程视为关于x的二次方程，将其变形为 x2?yx?(2y2?29)?0． 由于该方程有整数根，则判别式?≥0，且是完全平方数． 由 ??y2?4(2y2?29)??7y2?116≥0， 解得 y2≤
1167?16.57．于是 y2 0 1 4 9 16 ? 116 109 88 53 4 显然，只有y2?16时，??4是完全平方数，符合要求． 当y?4时，原方程为x2?4x?3?0，此时x1??1,x2??3； 当y＝－4时，原方程为x2?4x?3?0，此时x3?1,x4?3． 所以，原方程的整数解为
??x1??1,?y ??x2??3, ??x3?1,?x4?3,?y ? 1?4;?y2?4;3??4;?y4??4.二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）
A
． 页脚内容56．一个自行车轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000 km后报废；若把它安装在后轮，则自行车行驶 3000 km后报废，行驶一定路程后可以交换前、后轮胎．如果交换前、后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行驶 km ．
【答】3750．
解：设每个新轮胎报废时的总磨损量为k,则安装在前轮的轮胎每行驶1 km 磨损量为
k5000,安装在后轮的轮胎每行驶1km的磨损量为k3000.又设一对新轮胎交换位置前走了x km，交换位置后走了y km.分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程,有
??kx??ky??50003000k,kx ?ky??5000?3000?k,两式相加，得
k(x?y)5000?k(x?y)3000?2k， 则 x?y?211?3750．
5000?30007．已知线段AB的中点为C，以点A为圆心，AB的长为半径作圆，在线段AB的延长线上取点D，使得BD＝AC；再以点D为圆心，DA的长为半径作圆，与⊙A分别相交于F，G两点，连接FG交AB于点H，则AHAB的值为 ．
解：如图，延长AD与⊙D交于点E，连接AF，EF ． 由题设知AC?13AD，AB?13AE，在△FHA和△EFA中， ?EFA??FHA?90?，?FAH??EAF 所以 Rt△FHA∽Rt△EFA，
）
AHAF?AFAE.
而AF?AB，所以AH1AB?3.
（第7题） 8．已知a1，a2，a3，a4，a5是满足条件a1?a2?a3?a4?a5?9的五个不同的整数，若b是关于x的方程?x?a1??x?a2??x?a3??x?a4??x?a5??2009的整数根，则b的值为 ．
【答】 10．
解：因为?b?a1??b?a2??b?a3??b?a4??b?a5??2009，且a1，a2，a3，a4，a5是五个不同的整数，所有b?a1，b?a2，b?a3，b?a4，b?a5也是五个不同的整数．
又因为2009?1???1??7???7??41，所以
b?a1?b?a2?b?a3?b?a4?b?a5?41．
由a1?a2?a3?a4?a5?9，可得b?10．
9．如图，在△ABC中，CD是高，CE为?ACB的平分线．若AC＝15，BC＝20，
CD＝12，则CE的长等于 ．
【答】6027．
解：如图，由勾股定理知AD＝9，BD＝16，所以AB＝AD＋BD＝25 ． 故由勾股定理逆定理知△ACB为直角三角形，且?ACB?90?．
作EF⊥BC，垂足为F．设EF＝x，由?ECF?12?ACB?45?，得CF＝x，于
是BF＝20－x．由于EF∥AC，所以
EFBFAC?BC， A
页脚内容5即
x20?x15?20， （第解得x?607．所以CE?2x?6027．
9题） 10．10个人围成一个圆圈做游戏．游戏的规则是：每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实地告诉他两旁的两个人，然后每个人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报出来．若报出来的数如图所示，则报3的人心里想的数是 ．
（第10 【答】?2．
题） 解：设报3的人心里想的数是x，则报5的人心里想的数应是8?x． 于是报7的人心里想的数是 12?(8?x)?4?x，报9的人心里想的数是16?(4?x)?12?x，报1的人心里想的数是 20?(12?x)?8?x，报3的人心里
想的数是4?(8?x)??4?x．所以
x??4?x， 解得x??2．
三、解答题（共4题，每题20分，共80分）
11．已知抛物线y?x2与动直线y?(2t?1)x?c有公共点(x1,y1)，
(x2,y2)，
且x221?x2?t2?2t?3. （1）求实数t的取值范围；
（2）当t为何值时，c取到最小值，并求出c的最小值. 解：（1）联立y?x2与y?(2t?1)x?c，消去y得二次方程
x2?(2t?1)x?c?0 ①
有实数根x1，x2，则x1?x2?2t?1,x1x2?c．所以
c?x121x2?2[(x1?x2)2?(x21?x2)]
=12[(2t?1)2?(t2?2t?3)]＝12(3t2?6t?4)． ② ………………5分 把②式代入方程①得
x2?(2t?1)x?12(3t2?6t?4)?0． ③
………………10分
t的取值应满足
t2?2t?3?x221?x2≥0， ④
且使方程③有实数根，即
??(2t?1)2?2(3t2?6t?4)＝?2t2?8t?7≥0， ⑤
解不等式④得 t≤-3或t≥1，解不等式⑤得 2?222≤t≤2?2. 所以，t的取值范围为
2?22≤t≤2?22. ⑥ ………………15分
(2) 由②式知c?12(3t2?6t?4)?312(t?1)2?2.
由于c?32(t?1)2?12在2?22≤t≤2?222时是递增的，所以，当t?2?2时,c?3min2(2?22?1)2?111?622?4. ………………20分
A
页脚内容512．已知正整数a满足192a3?191，且a?2009，求满足条件的所有可能的正整数a的和．
解：由192a3?191可得192a3?1．192?3?26，且
a3?1??a?1??a(a?1)?1??(a?1)a(a?1)?(a?1)．
………………5分
因为a?a?1??1是奇数，所以26a3?1等价于26a?1，又因为3(a?1)a(a?1)，所以3a3?1等价于3a?1．因此有192a?1，于是可得a?192k?1．
………………15分 又0?a?2009，所以k?01，，，10．因此，满足条件的所有可能的正整数a的和为
11＋192（1＋2＋…＋10）＝10571． ………………20分 13．如图，给定锐角三角形ABC，BC?CA，AD，BE是它
的两条高，过点C作△ABC的外接圆的切线l，过点D，E分别作l的垂线，垂足分别为F，G．试比较线段DF和EG的大小，并证明你的结论． 解法
1：结论是DF?EG．下面给出证
（第13A明． ………………5分
题） 因为?FCD??EAB，所以Rt△FCD ∽ Rt△EAB．于是可得
DF?BE?CDAB． 同理可得 EG?AD?CEAB． ………………10分
又因为tan?ACB?ADCD?BECE，所以有BE?CD?AD?CE，于是可得
A
DF?EG． ………………20分
解法2：结论是DF?EG．下面给出证明．
……………… 5分
连接DE，因为?ADB??AEB?90?，所以A，B，D，E四点共圆，故
（第13A题） ≥?n?1???n?1????n?1??(n?1)2，
所以，(n?1)2≤2008，于是n ≤45.
结合n?123?251，所以，n ≤9． ………………15分
另一方面，令a1?8?0?1,a2?8?1?1,a3?8?2?1，…，a8?8?7?1，
?CED??ABC． ………………10分
又l是⊙O的过点C的切线，所以?ACG??ABC． ………………15分 所以，?CED??ACG，于是DE∥FG，故DF＝EG．
………………20分14．n个正整数a1，a2，，an满足如下条件：1?a1?a2??an?2009；
且a1，a2，，an中任意n－1个不同的数的算术平均数都是正整数．求n的最大值．
解：设a1，a2，，an中去掉ai后剩下的n－1个数的算术平均数为正整数bi，
i?1，2，，n．即 ban)?aii?(a1?a2??n?1．
于是，对于任意的1≤i?j≤n，都有
bi?bj?aij?an?1，
从而 n?1(aj?ai)． ………………5分
由于 b?a120081?bn?ann?1?n?1是正整数，故 n?123?251． ………………10分
由于 an?1??an?an?1???an?1?an?2????a2?a1?
页脚内容5a9?8?251?1，则这9个数满足题设要求．
综上所述，n的最大值为9. 20分
………………
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