2．平面与空间直线
一.知识回顾: (一)平面：
1、平面的两个特征：①无限延展 ②平的（没有厚度） 2、平面的画法：通常画平行四边形来表示平面 3、平面的表示：
（1）用一个小写的希腊字母?、?、?等表示，如平面?、平面?；
（2）用表示平行四边形的两个相对顶点的字母表示，如平面AC (二)三公理三推论:
公理1：若一条直线上有两个点在一个平面内，则该直线上所有的点都在这个平面内.
A?l,B?l,A??,B???l??
公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。
公理3:经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面. 推论一:经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面. 推论二:经过两条相交直线,有且只有一个平面.
推论三:经过两条平行直线,有且只有一个平面. (三)空间直线:
1.空间两条直线的位置关系：
（1）相交直线——有且仅有一个公共点； （2）平行直线——在同一平面内，没有公共点；
（3）异面直线——不同在任何一个平面内，没有公共点。
相交直线和平行直线也称为共面直线．
异面直线的画法常用的有下列三种：
b
?bb aa
?a??
2. 平行直线：
在平面几何中，平行于同一条直线的两条直线互相平行，这个结论在空间也是成立的。即
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 3.等角定理
等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等．
推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等．
4．异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线 推理模式：A??,B??,a??,B?a?AB与a是异面直线 二基本训练：
1．A、B、C表示不同的点，a、l表示不同的直线，?、?表示不同的平面，下列推理不正确的是 （ ）
(A)A?l,A??,B?l,B???l??
(B)A??,A??，B??,B???????AB直线 (C)l??,A?l?A??
(D)A,B,C??，A,B,C??且A,B,C不共线??与?重合 选C
2．下列四个命题：
（1）分别在两个平面内的两条直线是异面直线 （2）和两条异面直线都垂直的直线有且只有一条 （3）和两条异面直线都相交的两条直线必异面
（4）若a与b是异面直线，b与c是异面直线，则a与c也异面 其中真命题个数为 （ ）
3．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45?，腰和上底边均为1的
等腰梯形，则这个平面图形的面积是 （ ） (A)12?22 (B)1?22 (C)1?2 (D)2?2
选D
4．对于空间三条直线，有下列四个条件：
①三条直线两两相交且不共点；②三条直线两两平行；
③三条直线共点；④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交．
其中，使三条直线共面的充分条件有 （ ）(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个 选B
5．空间内五个点中的任意三点都不共线，由这五个点为顶点只构造出四个三棱锥，则这五个点最多可以确定 个平面 ．
答案：7个． 三．例题分析：
例1．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F．求证：E，F，G，H四点必定共线．A
解：∵AB∥CD，
B ∴AB，CD确定一个平面β．
D
C 又∵AB?α＝E，AB?β，∴E∈α，E∈β， G H 即E为平面α与β的一个公共点．
α E
F 同理可证F，G，H均为平面α与β的公共点．
∵两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线， ∴E，F，G，H四点必定共线．
说明：在立体几何的问题中，证明若干点共线时，常运用公理2，即先证明这些点都是某二平面的公共点，而后得出这些点都在二平面的交线上的结论．
例2．已知：a，b，c，d是不共点且两两相交的四条直线，求证：a，b，c，d共面． 证明 1o若当四条直线中有三条相交于一点，不妨设a，b，c相交于一点A，
但A?d，如图1．
A α ∴直线d和A确定一个平面α．
d
又设直线d与a，b，c分别相交于E，F，G， a E
F b G c 则A，E，F，G∈α．
图1
∵A，E∈α，A，E∈a，∴a?α． H α K 同理可证b?α，c?α． a b cd
∴a，b，c，d在同一平面α内．
图2
2o
当四条直线中任何三条都不共点时，如图2．
∵这四条直线两两相交，则设相交直线a，b确定一个平面α． 设直线c与a，b分别交于点H，K，则H，K∈α． 又 H，K∈c，∴c?α． 同理可证d?α．
∴a，b，c，d四条直线在同一平面α内．
说明：证明若干条线(或若干个点)共面的一般步骤是：首先根据公理3或推论，由题给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再根据公理1证明其余的线(或点)均在这个平面内．本题最容易忽视“三线共点”这一种情况．因此，在分析题意时，应仔细推敲问题中每一句话的含义．
例3．已知不共面的三条直线a、b、c相交于点P，A?a，B?a，C?b，D?c，求证：AD与BC是异面直线．
证一：（反证法）假设AD和BC共面，所确定的平面为α， 那么点P、A、B、C、D都在平面α内，∴直线a、b、c都 在平面α内，与已知条件a、b、c不共面矛盾，假设不成立， ∴AD和BC是异面直线。
证二：（直接证法）∵a∩c=P，∴它们确定一个平面，设为α，由已知C?平面α，B∈平面α，AD?平面α，B?AD，∴AD和BC是异面直线。
四．课堂练习
1． ( 2006年重庆卷)对于任意的直线l与平同a,在平面a内必有直线m,使m与l ( ) (A)平行 （B）相交
(C)垂直 (D)互为异面直线
(A)3 (B)2 (C)1 (D)0
2．（全国1文理7）如图，正棱柱ABCD?A1BC11D1中，AA1?2AB，则异面直线A1B与
AD1所成角的余弦值为
A．15 B．25 C．345 D．5
D1C1解．如图，连接BC1，A1C1，∠A1BC1是异面直线A1B与AD1所成A1B1的角，设AB=a，AA1=2a，∴ A1B=C1B=5a，A1C1=2a，∠
A1BC1的余弦值为4D5，选D。
C3、（福建文6）如图，在正方体ABCD-AA1B1C1D1中，E、F、BG、H分别为AA1、AB、BB1、BC1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于
A.45° B.60° C.90° D.120°
解析：连A1B、BC1、A1C1，则A1B=BC1=A1C1，且EF∥A1B、GH∥BC1，所以异面直线EF与GH所成的角等于.60°，选B
4．在正方体ABCD?A'B'C'D'中，M、N分别是棱AA'和AB的中点，P为上底面
ABCD的中心，则直线PB与MN所成的角为（ ） (A)300 (B)450 (C)600 (D)
5．已知直线a，如果直线b同时满足条件：①a、b异面②a、b所成的角为定值③a、b 间的距离为定值，则这样的直线b有（ ）
(A)1条 (B)2条 (C)4条 (D)无数条
6．已知异面直线a与b所成的角为500，P为空间一点，则过点P与a、b所成的角都是300的直线有且仅有（ ）
C错误。
若P在P2点，则由图中可知直线CC'及D'P2均与l、m异面，故选项D错误。
7．在正三棱柱ABC?A1B1C1中，若AB?2BB1，则AB1与C1B所成的角的大小 ．
五．课堂小结
(A)1条 (B)2条 (C)3条 (D)4条
7．（2006年辽宁卷）给出下列四个命题:
①垂直于同一直线的两条直线互相平行.
②垂直于同一平面的两个平面互相平行.
③若直线l1,l2与同一平面所成的角相等,则l1,l2互相平行. ④若直线l1,l2是异面直线,则与l1,l2都相交的两条直线是异面直线. 其中假命题的个数是（ ） ．
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
24、(浙江文7)若P是两条异面直线l、m外的任意一点，则 (A)过点P有且仅有一条直线与l、m都平行 (B)过点P有且仅有一条直线与l、m都垂直 (C)过点P有且仅有一条直线与l、m都相交 (D)过点P有且仅有一条直线与l、m都异面 【答案】：B 【分析】：设过点P的直线为n，若n与l、m都平行，则l、m
平行，与已知矛盾，故选项A错误。由于l、m只有惟一的公垂线，而过点P与公垂线平行的直线只有一条，故B正确。 对于选项C、D可参考右图的正方体，设AD为直线l，A'B'为直线m;
若点P在P1点，则显然无法作出直线与两直线都相交，故选项
3．空间直线与平面
一.知识回顾:
1．直线与平面平行的定义：直线与平面没有公共点，记作?a??,b??,a//b?a//?
2．线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．
推理模式：a??,b??,a//b?a//?．
3. 线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行． 推理模式：a//?,a??,?
二基本训练
1．（2006年福建卷）对于平面?和共面的直线m、n,下列命题中真命题是 （ ） （A）若m??,m?n,则n∥? （B）若m∥?,n∥?,则m∥n
（C）若m??,n∥?,则m∥n （D）若m、n与?所成的角相等，则m∥n 2、(安徽文6)设l,m,n均为直线,其中m,n在平面α内，则“l⊥α”是“l?m且l?n”的（ ）
(A)充分不必要条件 (C)充分必要条件
(B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件
?ab??abP?ba(C)a//b，且b//? (D)?//?，且a??
4、（湖北理4）平面?外有两条直线m和n，如果m和n在平面?内的射影分别是m?和n?，
给出下列四个命题： ①m??n??m?n； D1 C1 ②m?n?m??n?；
A1 PB1 ③m?与n?相交?m与n相交或重合；
④m?与n?平行?m与n平行或重合． 其中不正确的命题个数是
答案：4解析：由射影的概念以及线线垂直关系的判定可知①②③④均错, 具体可观察如图的正方体：
AC?BD但AC1,BD1不垂直，故①错；A 方法，
D C
B A1B?AB1但在底面上的射影都是AB
??b?a//b
AB//CD但A1B,C1D异面， 故②错；AC,BD相交，但AC1,BD异面，故③错；故④错
解析：设l,m,n均为直线,其中m,n在平面α内，若“l⊥α”则“l?m且l?n”，反之若“l?m且l?n”，当m//n时，无法判断“l⊥α”，所以“l⊥α”是“l?m且l?n”的充分不必要条件，选A。
5.设三棱锥P?ABC的顶点P在平面ABC上的射影是H，给出以下命题： ①若PA?BC，PB?AC，则H是?ABC的垂心 ②若PA,PB,PC两两互相垂直，则H是?ABC的垂心 ③若?ABC?90，H是AC的中点，则PA?PB?PC ④若PA?PB?PC，则H是?ABC的外心
其中正确命题的命题是 ①②③④ 6．（2006年广东卷）给出以下四个命题
①如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的一个平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行;
②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面; ③如果两条直线都平行于一个平面,那么这两条直线互相平行;
④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么些两个平面互相垂直. 其中真命题的个数是
A.4 B.3 C.2 D.1
①②④正确，故选B.
三．例题分析：
例1．如图，已知M、N、P、Q分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点．
3．?、?表示平面，a、b表示直线，则a//?的一个充分条件是 （ ） (A)???，且a?? (B)????b，且a//b
相关推荐：
loading