高考数学复习专题05不等式基本不等式及其应用易错点

基本不等式及其应用易错点

主标题：基本不等式及其应用易错点

副标题：从考点分析基本不等式及其应用在高考中的易错点，为学生备考提供简洁有效的备考策略。

关键词：不等式，基本不等式及其应用，易错点 难度：2 重要程度：5 内容：

一、忽视条件“两个正数”导致错误 【例1】求函数f(x)?x?1的值域. x 错解：f(x)?x?的值域为?2,???.

111?2x??2（当且仅当x?，即x??1时，取得等号），即函数xxx 剖析：本题忽视了利用基本不等式求最值的第一个条件“两数均为正值”，显然，当x?0时，f(x)?0.

正解：当x?0时，f(x)?x?111?2x??2（当且仅当x?，即x?1时，取得等xxx111??2?x???2（当且仅当?x?，即x??1?x?x?x号）；当x?0时，f(x)??(?x?时，取得等号），即函数的值域为???,?2???2,???.

二、忽视条件“定值”导致错误

b2【例2】设a≥0，b≥0，a+=1，求a1?b2 的最大值．

2114a2?(1?b2)22 错解： a1?b?(2a)?1?b?? 222121b21132?[a??a?]?[(a2?)?1]?(a=0时取等号) 2222242

剖析：并非定值．

正解：为利用均值不等式时出现定值，先进行适当的“凑、配”．

b2??b2322a??a??,222 1?b22a?1?b222?a1?b?2?a??2?22

3322?2?,当且仅当a?f241?b2时取 “=”. 2三、忽视验证“等号是否成立” 例3.设x∈(0，π)，则函数f(x)=sinx+ A．4 B．5 C．3 D．6

错解：因为x∈(0，π)，所以sinx>0，因此f(x)的最小值是4．故选A

剖析：忽略了均值不等式a+b≥2ab(a.0， b>0)中等号成立的条件：当且仅当a=b时等号成立．事实上，sinx=

4不可能成立，因为它成立的条件是sinx=±2，这不可能． sinx4．易知此函数在t444>0， f(x)=sinx+=4，?2sinx?sinxsinxsinx4的最小值是 ( ) sinx 正解：令sinx=t，因为x∈(0，π)，所以0

区间(0，1)上是减函数，所以，当t=1时，y取最小值5．故应选B．

11

例4.已知两正数x，y满足x＋y＝1，则z＝(x＋)(y＋)的最小值为________．

xy

111

错解一：因为对a>0，恒有a＋≥2，从而z＝(x＋)(y＋)≥4，所以z的最小值是4.

axy2＋xy－2xy2

错解二：z＝＝(＋xy)－2≥2

xyxy值是2(2－1)．

剖析：错解一和错解二的错误原因是等号成立的条件不具备，因此使用基本不等式一定要验

证等号成立的条件，只有等号成立时，所求出的最值才是正确的．

2

111yx1x＋y－2xy2

正解：z＝(x＋)(y＋)＝xy＋＋＋＝xy＋＋＝＋xy－2，

xyxyxyxyxyxy

x＋y21211

令t＝xy，则0

24t44233125

f(t)＝t＋有最小值，所以当x＝y＝时z有最小值.

t424

22

2

·xy－2＝2(2－1)，所以z的最小xy