最新中考数学湖北省荆门市中考数学试卷(含答案)

OB=25，OC=20，若点M是边OC上的一个动点（与点O、C不重合），过点M作MN∥OB交BC于点N． （1）求点C的坐标；

（2）当△MCN的周长与四边形OMNB的周长相等时，求CM的长；

（3）在OB上是否存在点Q，使得△MNQ为等腰直角三角形？若存在，请求出此时MN的长；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）如图1，过C作CH⊥OB于H，根据勾股定理得到BC=CH=

=

=

=15，根据三角形的面积公式得到

=12，由勾股定理得到OH=

=

=

=16，于是得到结论；

=，设CM=x，则CN=x，根据

（2）∵根据相似三角形的性质得到已知条件列方程即可得到结论；

（3）如图2，由（2）知，当CM=x，则CN=x，MN=x，①当∠OMQ1=90°MN=MQ时，②当∠MNQ2=90°，MN=NQ2时，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：（1）如图1，过C作CH⊥OB于H， ∵∠C=90°，OB=25，OC=20， ∴BC=

=

=15，

∵S△OBC=OB?CH=OC?BC， ∴CH=∴OH=

=

=12， =16，

∴C（16，﹣12）；

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（2）∵MN∥OB， ∴△CNM∽△COB， ∴

=

=

=，

设CM=x，则CN=x，

∵△MCN的周长与四边形OMNB的周长相等，

∴CM+CN+MN=OM+MN+OB，即x+x+MN=20﹣x+mn+15﹣x+25，解得：x=， ∴CM=

；

（3）如图2，由（2）知，当CM=x，则CN=x，MN=x， ①当∠OMQ1=90°MN=MQ时， ∵△OMQ∽△OBC， ∴

=

，

∵MN=MQ， ∴=，

∴x=

，

∴MN=x=×

=

；

②当∠MNQ2=90°，MN=NQ2时， 此时，四边形MNQ2Q1是正方形， ∴NQ2=MQ1=MN， ∴MN=

．

③当∠MQN=90°，MQ=NQ时， 过M作MH⊥OB于H，∵MN=

MQ，MQ=

MH，∴MN=2MH，∴∵△OMH∽△OBC，∴=，∴x=，∴MN=x=．

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MH=x，

【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，勾股定理，三角形面积公式，正确的作出辅助线是解题的关键．

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