2019届高三年级第二次模拟考试
数学
(满分160分，考试时间120分钟)
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．
1.已知集合A＝{x|1 z 2.若复数z满足＝i(i为虚数单位)，且实部和虚部相等，则实数a的值为________． a＋2i3.某药厂选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12，13)，[13，14)，[14，15)，[15，16)，[16，17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组．如图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，则第三组的人数为________． (第3题)(第4题) 4.如图是某算法的伪代码，输出的结果S的值为________． 5.现有5件相同的产品，其中3件合格，2件不合格，从中随机抽检2件，则一件合格，另一件不合格的概率为________． 6.在等差数列{an}中，a4＝10，前12项的和S12＝90，则a18的值为________． 7.在平面直角坐标系xOy中，已知A是抛物线y2＝4x与双曲线 x24 － y2b2 ＝1(b>0)的一个交点．若抛物线的焦点为F，且FA＝5，则双曲线的渐近线方程为____________________． 8.若函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)的图象经过点(ππ 距离为，则f()的值为________． 24 9.已知正四棱锥PABCD的所有棱长都相等，高为2，则该正四棱锥的表面积为________． 10.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x2－5x，则不等式f(x－1)>f(x)的解集为________． 11.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，0)，B(5，0)．若在圆M：(x－4)2＋(y－m)2 ＝4上存在唯一一点P，使得直线PA，PB在y轴上的截距之积为5，则实数m的值为________． 12.已知AD是直角三角形ABC的斜边BC上的高，点P在DA的延长线上，且满足( →PB π ，2)，且相邻两条对称轴间的6 →→→→＋PC)·AD＝42.若AD＝2，则PB·PC的值为________． 13.已知函数f(x)＝ ?|x＋3|， x≤0， ? ?x3－12x＋3，x>0. 设g(x)＝kx＋1，且函数y＝f(x)－g(x)的图象经过四个象限，则实数k的取值范围是________． 14.在△ABC中，若sinC＝2cosAcosB，则cos2A＋cos2B的最大值为________． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15.(本小题满分14分) 设向量a＝(cosα，λsinα)，b＝(cosβ，sinβ)，其中λ>0，0<α<β<直． (1) 求实数λ的值； 4 (2) 若a·b＝，且tanβ＝2，求tanα的值． 5 16.(本小题满分14分) 如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝AC，A1C⊥BC1，AB1⊥BC1，D，E分别是AB1和BC的中点．求证： (1) DE∥平面ACC1A1； (2) AE⊥平面BCC1B1. π ，且a＋b与a－b互相垂2 17.(本小题满分14分) 某公园内有一块以O为圆心，半径为20米的圆形区域．为丰富市民的业余文化生活，现 提出如下设计方案：如图，在圆形区域内搭建露天舞台，舞台为扇形OAB区域，其中两个端点A，B分别在圆周上；观众席为梯形ABQP内且在圆O外的区域，其中AP＝AB＝BQ，∠PAB＝∠QBA＝120°，且AB，PQ在点O的同侧．为保证视听效果，要求观众席内每一个观众到舞台O处的距离都不超过60米．设∠OAB＝α，α∈(0，方案是否均能符合要求？ π )．问：对于任意α，上述设计3 18.(本小题满分16分) 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率为 x2a2 ＋ y2b2 2 ，且椭圆C短轴的一个顶点到一个焦点的距离等于2. 2 (1) 求椭圆C的方程； (2) 设经过点P(2，0)的直线l交椭圆C于A，B两点，点Q(m，0)． ①若对任意直线l总存在点Q，使得QA＝QB，求实数m的取值范围； ②设F为椭圆C的左焦点，若点Q为△FAB的外心，求实数m的值． 19.(本小题满分16分) 2x－2 已知函数f(x)＝lnx－，a>0. x－1＋2a (1) 当a＝2时，求函数f(x)的图象在x＝1处的切线方程； (2) 若对任意x∈[1，＋∞)，不等式f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围； (3) 若函数f(x)存在极大值和极小值，且极大值小于极小值，求实数a的取值范围． 20.(本小题满分16分) 已知数列{an}各项均为正数，且对任意n∈N*，都有(a1a2…an)2＝an1＋1ann＋－1. 1a2 (1) 若a1，2a2，3a3成等差数列，求的值； a1 (2) ①求证：数列{an}为等比数列； ②若对任意n∈N*，都有a1＋a2＋…＋an≤2n－1，求数列{an}的公比q的取值范围． 2019届高三年级第二次模拟考试(十) 数学附加题(本部分满分40分，考试时间30分钟) 21.【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A. [选修4-2：矩阵与变换](本小题满分10分) ?2b?，B＝?11?，AB＝?21?. 已知矩阵A＝?????? ?a3??0－1??41? (1) 求a，b的值； (2) 求A的逆矩阵A－1. B. [选修4-4：坐标系与参数方程](本小题满分10分) ??x＝t，?在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 ?y＝3t＋2???x＝cosθ，?(t为参数)，曲线C的参数方程为 ??y＝3sinθ (θ为参数)，P是曲线C上的任意一点．求点P到直线l的距离的最大值． C. [选修4-5：不等式选讲](本小题满分10分) 解不等式：|2x－1|－x≥2. 【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22.(本小题满分10分) 如图是一旅游景区供游客行走的路线图，假设从进口A开始到出口B，每遇到一个岔路口，每位游客选择其中一条道路行进是等可能的．现有甲、乙、丙、丁共4名游客结伴到旅游景区游玩，他们从进口A的岔路口就开始选择道路自行游玩，并按箭头所指路线行走，最后到出口B集中，设C是其中的一个交叉路口点． (1) 求甲经过点C的概率； (2) 设这4名游客中恰有X名游客都是经过点C，求随机变量X的概率分布和数学期望． 23.(本小题满分10分) 平面上有2n(n≥3，n∈N*)个点，将每一个点染上红色或蓝色．从这2n个点中，任取3个点，记3个点颜色相同的所有不同取法的总数为T. (1) 若n＝3，求T的最小值； (2) 若n≥4，求证：T≥2C3n. 2019届高三年级第二次模拟考试(南京、盐城) 数学参考答案
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