2018届一轮复习人教A版 平面向量数量积的应用 学案

专题7 平面向量数量积的应用

平面向量数量积的应用

★★★

○○○○

平面向量数量积的性质及其坐标表示

设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝〈a，b〉.

几何表示 坐标表示 模 |a|＝a·a |a|＝x21＋y21 夹角 cos θ＝a·b|a||b| cos θ＝x1x2＋y1y2x221＋y1·x22 2＋y2a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0 |a·b|与|a||b|的关|x1x2＋y1y2|≤ |a·b|≤|a||b| 系 x22221＋y1·x2＋y2

1.利用坐标运算证明或判断两个向量的垂直问题 第一，计算出这两个向量的坐标；

第二，根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可． 2．已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值

根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数． 3.求解两个非零向量之间的夹角的步骤

第一步 由坐标运算或定义计算出这两个向量的数量积 1

第二步 分别求出这两个向量的模 a·bx1x2＋y1y2根据公式cos〈a，b〉＝＝2求解出这两个向量夹角的余弦222|a||b|x＋y·x＋y1122第三步 值 第四步 根据两个向量夹角的范围是[0，π]及其夹角的余弦值，求出这两个向量的夹角

????????[例1] (1)△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足AB＝2a，AC＝2a＋b，则下列结论正

确的是( ) A．|b|＝1 C．a·b＝1

B． a⊥b

???? D．(4a＋b)⊥BC

(2)已知向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k＝( ) 915A．－ B．0 C．3 D.

22

[答案] (1)D (2)C

π

1.(2017·衡水模拟)已知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为，那么|4a－b|＝( )

3A．2 C．23

B．6 D．12

π222

[解析] |4a－b|＝16a＋b－8a·b＝16×1＋4－8×1×2×cos＝12.∴|4a－b|＝23.

3

1

2.已知e1，e2是平面单位向量，且e1·e2＝.若平面向量b满足b·e1＝b·e2＝1，则|b|＝________.

2

2

1

[解析] ∵e1·e2＝，

2

1

∴|e1||e2|cos�Qe1，e2�R＝，∴�Qe1，e2�R＝60°.

2又∵b·e1＝b·e2＝1＞0，∴�Qb，e1�R＝�Qb，e2�R＝30°. 由b·e1＝1，得|b||e1|cos 30°＝1，∴|b|＝

12

22

3.(1)若非零向量a，b满足|a|＝|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为( )

3A.

ππ3π B. C. 424

D．π 23

＝.

33

1

(2)已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cos α＝，向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的夹角为β，则cos β

3＝________.

[解析] (1)由(a－b)⊥(3a＋2b)，

得(a－b)·(3a＋2b)＝0，即3a－a·b－2b＝0. 22

又∵|a|＝|b|，设〈a，b〉＝θ，

3即3|a|－|a||b|cos θ－2|b|＝0， 822222∴|b|－|b|·cos θ－2|b|＝0. 33∴cos θ＝

2π

.又∵0≤θ≤π，∴θ＝. 24

2

22

2

1.若向量a，b满足：|a|＝1，(a＋b)⊥a，(2a＋b)⊥b，则|b|＝( )

3

A．2 B.2 C．1 D.

2 2

??a＋b?·a＝0，?

解析：选B 由题意知?

???2a＋b?·b＝0，

?a＋b·a＝0，①?

即?2

??2a·b＋b＝0，②

2

将①×2－②得，2a－b＝0，∴b222

＝|b|＝2a＝2|a|＝2，故|b|＝2.

2.已知|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，且c⊥a，则向量a与b的夹角为( ) A．30° C．120°

B．60° D．150°

2

2

222

解析：选C 设向量a与b的夹角为θ，∵c＝a＋b，c⊥a，∴c·a＝(a＋b)·a＝a＋a·b＝0，∴|a|＝|a||a|1

－|a||b|·cosθ，∴cos θ＝－＝－＝－，∴θ＝120°.

|a||b||b|2

3. (2016·兰州一模)设x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|＝( ) A.5 B.10 C．25

D．10

2

解析：选B ∵a⊥b，∴a·b＝0，即x－2＝0，解得x＝2，∴a＋b＝(3，－1)，于是|a＋b|＝10，故选B.

4. (2017·湖北八校联考)已知向量a＝(3,1)，b＝(1,3)，c＝(k，－2)，若(a－c)∥b，则向量a与向量c的夹角的余弦值是( ) A.5

55 5

1 B. 51 D．－ 5

C．－

5.已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a＋b与向量ka－b垂直，则k＝________. 解析：∵a与b为两个不共线的单位向量， ∴|a|＝|b|＝1， 又a＋b与ka－b垂直， ∴(a＋b)·(ka－b)＝0， 即ka＋ka·b－a·b－b＝0，

∴k－1＋ka·b－a·b＝0，即k－1＋kcos θ－cos θ＝0(θ为a与b的夹角)，∴(k－1)(1＋cos θ)＝

4

2

2

0.又a与b不共线， ∴cos θ≠－1，∴k＝1. 答案：1

6. (2017·泰安模拟)已知平面向量a，b满足|b|＝1，且a与b－a的夹角为120°，则a的模的取值范围为________．

________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

5