第4章 不定积分
不定积分的概念和性质
【教学目的】：
1. 理解原函数的概念；
2. 理解不定积分的定义，及几何意义； 3. 掌握不定积分的基本公式和性质； 4. 会用直接积分法计算不定积分。
【教学重点】： 1. 原函数的概念；
2. 不定积分的概念及几何意义； 3. 不定积分的基本公式和性质。
【教学难点】： 1. 基本积分公式；
2. 用直接积分法计算不定积分。
【教学时数】：2学时 【教学过程】：
4.1.1原函数与不定积分
定义1 如果在区间I上，可导函数F(x)的导数为f(x)，即F'(x)?f(x)或
dF(x)?f(x)dx（x?I），那么函数F(x)就称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的
原函数．
如果f(x)有一个原函数，那么f(x)就有无穷多个原函数．
设?(x)是f(x)的另一个原函数，则任意的x?I，有??(x)?f(x)．于是
??(x)?F(x)?????(x)?F?(x)?f(x)?f(x)?0所以?(x)?F(x)?C0(C0为某个
常数)这表明?(x)与F(x)只差一个常数．因此当C为任意常数时，表达式
F(x)?C 就可以表示f(x)的全体原函数，也就是说，f(x)的全体原函数所组成
的集合，即函数族?F(x)?C|C?R?．
定义2 如果F(x)是f(x)在某区间上的一个原函数，那么F(x)?C（C为任意常数）称为f(x)在该区间上的不定积分．即?f(x)dx=F(x)?C．其中符号?称为积分号，f(x)称为被积函数，f(x)dx称为被积表达式，x称为积分变量．
由上面的讨论可知，若F(x)是f(x)的一个原函数，那么?f(x)dx=F(x)?C（C为任意常数）．因此，求函数f(x)的不定积分，只需求出被积函数f(x)的一个原函数再加上积分常数C，求不定积分的方法称为积分法．
从不定积分的定义，即可知不定积分与微分(求导)互为逆运算：
由于?f(x)dx是f(x)的原函数，所以[?f(x)dx]'?f(x)或d?f(x)dx?f(x)dx． 又由于F(x)是F'(x)的原函数，所以?F'(x)dx?F(x)?C或?dF(x)?F(x)?C．
由此可见微分运算(以记号d表示)与求不定积分的运算(简称积分运算以记号?表示)是互逆的，记号?与d一起时或者抵消，或者抵消后差一常数．
1例3 求?dx．
x解 当x?0时，由于(lnx)'?11，所以lnx是在(0,??)内的一个原函数，xx1因此在(0,??)内，有 ?dx?lnx?C．
x111?(?1)?，所以ln(?x)是在(??,0)内的一当x?0时，由于[ln(?x)]'?x?xx1个原函数，因此在(??,0)内 ?dx?ln(?x)?C．
x1把以上结果综合起来，得 ?dx?ln|x|?C．
x4.1.2不定积分的几何意义
因为不定积分?f(x)dx=F(x)?C是f(x)的原函数的一般表达式，所以它对应的图形是一族积分曲线，称它为积分曲线族．
积分曲线族F(x)?C有如下特点：
（1）积分曲线族中任意一条积分曲线都可以由曲线y?F(x)沿y轴方向上、下平移得到；
（2）由于[F(x)?C]??F?(x)?f(x)，即横坐标相同的点处，所有曲线的切线都是互相平行的．
4.1.3基本积分公式表
（1）?kdx?kx?C （k为常数）； （2） ?xdx??1x??1?C； ??111xa?C，?exdx?ex?C； （3）?dx?ln|x|?C； （4）?axdx?xlna（5）?cosxdx?sinx?C； （6）?sinxdx??cosx?C；
（7）?112dx??csc2xdx??cotx?C；dx?secxdx?tanx?C；（8） 22??sinxcosx（9）?11?x2dx?arcsinx?C； （10）?1dx?arctanx?C； 21?x（11）?cscxcotxdx??cscx?C； （12）?secxtanxdx?secx?C．
4.1.4不定积分的性质
性质1 设函数f(x)及g(x)的原函数存在，则
?[f(x)?g(x)]dx??f(x)dx??g(x)dx．
性质2 设函数f(x)的原函数存在， k为非零常数，则
?kf(x)dx?k?f(x)dx．
例6 求?(x3?3x?ex?e3)dx．
解 ?(x3?3x?ex?e3)dx??x3dx??3xdx??exdx??e3dx ?141xx?3?ex?e3x?C． 4ln3注意到被积函数中x3是幂函数，3x和ex是指数函数，而e3是常数，它们的积分公式是不同的．
【教学小节】：
通过本节的学习，理解原函数、不定积分的概念及几何意义，熟记基本积分公式，掌握不定积分性质并学会使用直接积分法计算不定积分。
【课后作业】：
无
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