f(X)是X的分布密度函数。则
?N?1x?t2/2 ??P?XN?E(X)?x??edt?x?2?N?? ??当N充分大时，有如下的近似式 ????2???t2/2?P?XN?E(X)?edt?1???? 0N?2??其中α称为置信度，1－α称为置信水平。
这表明，不等式
? ?
XN?E(X)?? N?1/2近似地以概率 1－α成立，且误差收敛速度的阶为 O ( N ) 。 通常，蒙特卡罗方法的误差ε定义为
?????
N
上式中 ? ? 与置信度α是一一对应的，根据问题的要求确定出置信水平后，查标准正态分布表，就可以确定出 ? ? 。
关于蒙特卡罗方法的误差需说明两点：第一，蒙特卡罗方法的误差为概率误差，这与其他数值计算方法是有区别的。第二，误差中的均方差σ是未知的，必须使用其估计值
1N21N ???Xi?(Xi)2Ni?1Ni?1
?来代替，在计算所求量的同时，可计算出 ? 。
八、蒙特卡罗方法的主要应用范围
通常蒙特·卡罗方法通过构造符合一定规则的随机数来解决数学上的各种问题。对于那些由于计算过于复杂而难以得到解析解或者根本没有解析解的问题，蒙特·卡罗方法是一种有效的求出数值解的方法。一般蒙特·卡罗方法在数学中最常见的应用就是蒙特·卡罗积分。
蒙特卡罗方法所特有的优点，使得它的应用范围越来越广。它的主要应用范围包括：粒子输运问题，统计物理，典型数学问题，真空技术，激光技术以及医学，生物，探矿等方面。随着科学技术的发展，其应用范围将更加广泛。蒙特卡罗方法在金融工程学，宏观经济学，生物医学，计算物理学(如粒子输运计算、量子热力学计算、空气动力学计算、核工程)等领域应用广泛。
蒙特卡罗方法在粒子输运问题中的应用范围主要包括：实验核物理，反应堆物理，高能物理等方面。
蒙特卡罗方法在实验核物理中的应用范围主要包括：通量及反应率，中子探测效率，光子探测效率，光子能量沉积谱及响应函数，气体正比计数管反冲质子谱，多次散射与通量衰减修正等方面。
九、蒙特卡罗模型的发展运用
lim????从理论上来说，蒙特卡罗方法需要大量的实验。实验次数越多，所得到的结果才越精确。以上Buffon的投针实验为例、历史上的记录如下表1。 从表中数据可以看到，一直到公元20世纪初期，尽管实验次数数以千计，利用
蒙特卡罗方法所得到的圆周率∏值，还是达不到公元5世纪祖冲之的推算精度。这可能是传统蒙特卡罗方法长期得不到推广的主要原因。
计算机技术的发展，使得蒙特卡罗方法在最近10年得到快速的普及。现代的蒙特卡罗方法，已经不必亲自动手做实验，而是借助计算机的高速运转能力，使得原本费时费力的实验过程，变成了快速和轻而易举的事情。它不但用于解决许多复杂的科学方面的问题，也被项目管理人员经常使用。
借助计算机技术，蒙特卡罗方法实现了两大优点：
一是简单，省却了繁复的数学推导和演算过程，使得一般人也能够理解和掌握 二是快速。简单和快速，是蒙特卡罗方法在现代项目管理中获得应用的技术基础。 蒙特卡罗方法有很强的适应性，问题的几何形状的复杂性对它的影响不大。该方法的收敛性是指概率意义下的收敛，因此问题维数的增加不会影响它的收敛速度，而且存贮单元也很省，这些是用该方法处理大型复杂问题时的优势。因此，随着电子计算机的发展和科学技术问题的日趋复杂，蒙特卡罗方法的应用也越来越广泛。它不仅较好地解决了多重积分计算、微分方程求解、积分方程求解、特征值计算和非线性方程组求解等高难度和复杂的数学计算问题，而且在统计物理、核物理、真空技术、系统科学 、信息科学、公用事业、地质、医学，可靠性及计算机科学等广泛的领域都得到成功的应用。
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