专题六 解析几何
第1讲 直线与圆、圆锥曲线的概念、方程与性质
(建议用时:45分钟)
[选题明细表]
知识点、方法 直线与圆 圆锥曲线的定义及应用 圆锥曲线的方程 圆锥曲线的几何性质 圆锥曲线的离心率 一、选择题
1.(2019·晋冀鲁豫名校高三上学期期末)若直线l:4x-ay+1=0平分圆C:(x+2)2+(y-2)2=4,则实数a的值为( A ) (A)- (B) (C) (D)或
解析:当直线经过圆心时平分圆,所以圆心C(-2,2)在直线l:4x-ay+1=0上, 所以4×(-2)-a×2+1=0, 解得a=-.故选A.
题号 1,6,11,14 5,8,9 4,15 2,3 7,10,12,13 2.(2018·全国Ⅱ卷)双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为,则其渐近线方程为( A ) (A)y=±x (B)y=±x (C)y=±x (D)y=±x 解析:由e==
=,得=,
所以该双曲线的渐近线方程为y=±x=±x,故选A.
3.(2019·长春市普通高中高三质量检测)已知双曲线-=1(a>0, b>0)的两个顶点分别为A,B,点P为双曲线上除A,B外任意一点,且点P与点A,B连线的斜率分别为k1,k2,若k1k2=3,则双曲线的渐近线方程为( C )
(A)y=±x (B)y=±x (C)y=±x (D)y=±2x 解析:设点P(x,y),由题意知 k1·k2=·
=
=
==3,
所以其渐近线方程为y=±x, 故选C.
4.(2018·河南二模)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的两个焦点分别为F1,F2,以线段F1F2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(4,3),则此双曲线的方程为( A )
(A)-=1 (B)-=1 (C)-=1 (D)-=1
解析:因为双曲线-=1(a>0,b>0)的上、下焦点分别为F1,F2, 所以以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=c2,
因为以F1F2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(4,3), 所以
解得a=3,b=4,
所以双曲线的方程为-=1.故选A.
5.设F1,F2分别是双曲线x2-=1的左、右焦点,P是双曲线上的一点,且3|PF1|=4|PF2|,则△PF1F2的面积等于( C ) (A)4 (B)8 (C)24 (D)48 解析:a2=1,b2=24, 所以c2=a2+b2=25, 所以c=5.
因为|PF1|-|PF2|=2a=2,3|PF1|=4|PF2|, 所以|PF1|=8,|PF2|=6.
又|F1F2|=2c=10,所以∠F1PF2=90°. 所以
=|PF1|·|PF2|=24.故选C.
6.(2019·湖北省宜昌市高三元月调研)已知两点 A(-1,0),B(1,0)以及圆C:(x-3)2+(y-4)2=r2(r>0),若圆C上存在点P,满足·=0,则r的取值范围是( D )
(A)[3,6] (B)[3,5] (C)[4,5] (D)[4,6] 解析:因为·=0,
所以点P在以A(-1,0),B(1,0)两点为直径的圆上, 该圆方程为x2+y2=1, 又点P在圆C上, 所以两圆有公共点. 两圆的圆心距d=所以|r-1|≤5≤r+1, 解得4≤r≤6,故选D.
7.(2019·北京卷)已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,则( B ) (A)a2=2b2 (B)3a2=4b2 (C)a=2b (D)3a=4b
解析:因为椭圆的离心率e==,所以a2=4c2.又a2=b2+c2,所以3a2=4b2.故选B.
8.(2019·唐山市高三模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0)和双曲线E:x2-y2=1有相同的焦点F1,F2,且离心率之积为1,P为两曲线的一个交点,则△F1PF2的形状为( B )
=5,
(A)锐角三角形 (B)直角三角形 (C)钝角三角形 (D)不能确定
解析:由题意可知,×=1?c=a,因为c=,所以a=2,b2=a2-c2=2,不妨设P与F2在y轴右侧,则△F1PF2为直角三角形,故选B.
9.(2019·安徽省示范高中高三期末)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5,若以MF为直径的圆过点(0,2),则C的焦点到准线的距离为( C ) (A)4或8 (B)2或4 (C)2或8 (D)4或16
解析:抛物线C的方程为y2=2px(p>0),所以F(,0),准线方程为x=-.如图,设准线与x轴的交点为K,则|KF|=p.过M作MP平行于x轴交准线于P,则|MP|=|MF|=5.取MF的中点为N,过N作NQ平行于x轴交准线于Q,交y轴于A,则|NQ|=
=+,|AN|=|NQ|-==
,所以以MF
得|PF1|2=|F1F2|2+|PF2|2,所以
为直径的圆与y轴相切,A为切点,A(0,2),所以N(,2),故M(5-,4),所以16=2p(5-),p2-10p+16=0,所以p=2或p=8,故选C.
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