【分析】设右焦点为F′，连接MF′，NF′，由于|MF′|+|NF′|≥|MN|，可得当直线x=a过右焦点时，△FMN的周长最大．c=面积S．
【解答】解：设右焦点为F′，连接MF′，NF′，∵|MF′|+|NF′|≥|MN|， ∴当直线x=a过右焦点时，△FMN的周长最大． 由椭圆的定义可得：△FMN的周长的最大值=4a=4c=
=1．
=1，解得y=±=
．
． ．
=1．把c=1代入椭圆标准方程可得：
=1，解得y，即可得出此时△FMN的
把c=1代入椭圆标准方程可得：∴此时△FMN的面积S=故选：C．
11．四面体A﹣BCD中，AB=CD=10，AC=BD=2A．50π B．100π
C．200π
，AD=BC=2
，则四面体A﹣BCD外接球的表面积为（ ）
D．300π
【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．
【分析】由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以10，2
，2
为三边的三角形作为底面，且以分别为x，y，z，长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从
而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，由此能求出球的半径，进而求出球的表面积． 【解答】解：由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形， 所以可在其每个面补上一个以10，2
，2
为三边的三角形作为底面，
且以分别为x，y，z，长、两两垂直的侧棱的三棱锥， 从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体， 并且x2+y2=100，x2+z2=136，y2+z2=164， 设球半径为R，则有（2R）2=x2+y2+z2=200， ∴4R2=200，
∴球的表面积为S=4πR2=200π． 故选C．
12．设函数f（x）满足2x2f（x）+x3f'（x）=ex，f（2）=当x∈ ．
【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．
，则x∈=e2﹣=（x﹣2），
【分析】根据题意画出图形，结合图形，设外接圆的半径为r，对析式，利用基本不等式求出p+q的取值范围． 【解答】解：如图所示，△ABC中，∠A=设|
，∴∠BOC=
；
=p+q两边平方，建立p、q的解
=r，则O为△ABC外接圆圆心；
∵∴
22
=p+q=
22
，
=r2，
2
即pr+qr+2pqrcos∴p+q﹣pq=1， ∴（p+q）2=3pq+1；
2
2
=r，
2
又M为劣弧AC上一动点， ∴0≤p≤1，0≤q≤1， ∴p+q≥2∴pq≤
， =
，
∴1≤（p+q）2≤（p+q）2+1， 解得1≤（p+q）2≤4， ∴1≤p+q≤2； 即p+q的取值范围是． 故答案为：．
三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知sinB+sinC=msinA（m∈R），且a2﹣4bc=0． （1）当a=2，
时，求b、c的值；
（2）若角A为锐角，求m的取值范围． 【考点】HR：余弦定理．
【分析】（1）sinB+sinC=msinA（m∈R），利用正弦定理可得：b+c=ma，且a﹣4bc=0．a=2，解出即可得出．
（2）利用余弦定理、不等式的解法即可得出． 【解答】解：（1）由题意得b+c=ma，a2﹣4bc=0． 当
时，
，bc=1．
2
时，代入
解得．
（2）．
∴
，又由b+c=ma可得m＞0，所以．
18．为了研究学生的数学核素养与抽象（能力指标x）、推理（能力指标y）、建模（能力指标z）的相关性，并将它们各自量化为1、2、3三个等级，再用综合指标w=x+y+z的值评定学生的数学核心素养；若w≥7，则数学核心素养为一级；若5≤w≤6，则数学核心素养为二级；若3≤w≤4，则数学核心素养为三级，为了了解某校学生的数学核素养，调查人员随机访问了某校10名学生，得到如下结果： 学生编号
（x，y，（2，2，（3，2，（3，3，（1，2，（2，3，（2，3，（2，2，（2，3，（2，1，（2，2，z）
3）
3）
3）
2）
2）
3）
2）
3）
1）
2）
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
A10
（1）在这10名学生中任取两人，求这两人的建模能力指标相同的概率；
（2）从数学核心素养等级是一级的学生中任取一人，其综合指标为a，从数学核心素养等级不是一级的学生中任取一人，其综合指标为b，记随机变量X=a﹣b，求随机变量X的分布列及其数学期望． 【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列．
【分析】（1）由题可知：建模能力一级的学生是A9；建模能力二级的学生是A2，A4，A5，A7，A10；建模能力三级的学生是A1，A3，A6，A8．记“所取的两人的建模能力指标相同”为事件A，利用互斥事件与古典概率计算公式即可得出，P（A）．
（2）由题可知，数学核心素养一级：A1，A2，A3，A5，A6，A8，数学核心素养不是一级的：A4，A7，A9，A10；X的可能取值为1，2，3，4，5．利用相互独立事件、互斥事件与古典概率计算公式即可得出P（X=k）及其分布列与数学期望．
【解答】解：（1）由题可知：建模能力一级的学生是A9；建模能力二级的学生是A2，A4，A5，A7，A10；建模
能力三级的学生是A1，A3，A6，A8．
记“所取的两人的建模能力指标相同”为事件A， 则
．
（2）由题可知，数学核心素养一级：A1，A2，A3，A5，A6，A8，数学核心素养不是一级的：A4，A7，A9，A10；X的可能取值为
1，2，3，4，5.
；
；
；
∴随机变量X的分布列为： X P
1
2
= 3 ．
4
；．
5
∴
19．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=（1）求证：EF⊥平面BCF；
，四边形ACFE为矩形，且CF⊥平面ABCD，AD=CD=BC=CF．
（2）点M在线段EF上运动，当点M在什么位置时，平面MAB与平面FCB所成锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值．
【考点】MT：二面角的平面角及求法；LW：直线与平面垂直的判定．
【分析】（1）在梯形ABCD中，设AD=CD=BC=1，由题意求得AB=2，再由余弦定理求得AC2=3，满足AB2=AC2+BC2，得则BC⊥AC．再由CF⊥平面ABCD得AC⊥CF，由线面垂直的判定可得AC⊥平面BCF．进一步得到EF⊥平面BCF；
（2）分别以直线CA，CB，CF为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AD=CD=BC=CF=1，令FM=λ（
），得到C，A，B，M的坐标，求出平面MAB的一个法向量，由题意可得平面FCB的一
，此时点M与点F重合．
个法向量，求出两法向量所成角的余弦值，可得当λ=0时，cosθ有最小值为【解答】（1）证明：在梯形ABCD中，∵AB∥CD，设AD=CD=BC=1， 又∵
，∴AB=2，
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