2008-2019年考研数学一
真题答案及解析
目录
2019年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 ............................................................................ 2 2018年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 ............................................................................ 6 2017年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 .......................................................................... 10 2016年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 .......................................................................... 14 2015年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 .......................................................................... 18 2014年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 .......................................................................... 21 2013年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 .......................................................................... 25 2012年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 .......................................................................... 29 2011年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 .......................................................................... 34 2010年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 .......................................................................... 38 2009年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 .......................................................................... 42 2008年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 .......................................................................... 46
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2019年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答案纸指定位置上。 （1）当x?0时，若x?tanx与xk是同阶无穷小，则k? （A）1. （C）3.
（B）2. （D）4.
??xx,x?0,（2）设函数f?x???则x?0是f?x?的
??xlnx,x?0,A.可导点，极值点.
C.可导点，非极值点.
B.不可导点，极值点. D.不可导点，非极值点.
（3）设?un?是单调递增的有界数列，则下列级数中收敛的是
uA.?n n?1nmm
B.???1?n?1mn1 un?u?C.??1?n?
un?1?n?1?
22D.??un?1?un? n?1m（4）设函数Q?x,y??x.如果对上半平面?y?0?内的任意有向光滑封闭曲线C都有2y??P?x,y?dx?Q?x,y?dy?0，那么函数P?x,y?可取为
Cx2
A.y?3.
y
1x2B.?3. yy11C.?. xy D.x?1. y（5）设A是3阶实对称矩阵，E是3 阶单位矩阵。若A2?A?2E，且A?4，则二次型xTAx的规范形为
22?y3A.y12?y2. 22?y3C.y12?y2
22?y3B.y12?y2 22?y3D.?y12?y2
（6）如图所示，有3张平面两两相交，交线相互平行，他们的方程ai1x?ai2y?ai3z?di?i?1,2,3? 组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为A,A，则 A.r?A??2,rA?3 B.r?A??2,rA?2 C.r?A??1,rA?2 D.r?A??1,rA?1
????????2
（7）设A，B为随机事件，则P?A??P?B?的充分必要条件是 A. P?AUB??P?A??P?B? B.P?AB??P?A?P?B?
C.PAB?PBA D.P?AB??PAB
（8）设随机变量X与Y相互独立，且都服从正态分布N??,?2?，则P?X?Y?1? A.与?无关，而与?2有关. B.与?有关，而与?2无关. C.与?,?2都有关. D.与?,?2都无关.
二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. ．．．
???????9? 设函数f?u?可导，z?f?siny?sinx??xy，则
1?z1?z???? cosx?xcosy?y （10）微分方程2yy2?y2?2?0满足条件y?0??1的特解y?
??1?nx在?0,???内的和函数S?x?? （11）幂级数?n?0?2n?!?n?12?设?为曲面x2?y2?4z2?4?z?0?的上侧，则??z4?x2?4z2dxdy?
?13?设A???1,?2,?3?为三阶矩阵，若?1,?2线性无关，且?3=??1?2?2。则线性方程组Ax?0的通解
为
?x?,0?x?2,设随机变量的概率密度为fx?14F?x?为X的分布函数，EX为x的数学期望，X???2????0,其他，则P?F?X??EX?1??
三、解答题：15——23小题，共94分，请将解答写在答题纸指定位置上，解答应写出文字说明，证
明过程或演算步骤。
?15?（本题满分10分）设函数y?x?是微分方程y??xy?e?1? 求y?x?
?2? 求曲线y?y?x?的凹凸区间及拐点
?x22满足条件y?0??0的特解.
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函数z?2?ax2?by2在点?3,4?处的方向导数中，沿方向l??3i?4j?16?本题满分10分)设a,b为实数，的方向导数最大，最大值为10. ?1?求a,b；
?2?求曲面z?2?ax2?by2?z?0?的面积；
?17?(本题满分10分)，求曲线y?e?xsinx?x?0?与x轴之间图形的面积
（18）（本题满分10分）设an??xn1?x2dx?n?1,2,3...?
01（1）证明：?an?单调递减，且an?（2）lim
an
n??an?1n?1?an?2?n?2,3...? n?2（19）（本题满分10分）设?是由锥面x2??y?z???1?z?(0?z?1)与平面z?0围成的锥体，求?的行心坐标。
（20）（本题满分11分）已知向量组
?1??1??1??1??1??0??,???0?,???2?，（Ⅱ）???1?,???2?,???3?，若向量组（Ⅰ）1（Ⅰ）?1??1????2??3???2??3?22???????4???4???a?3???1?a???a?3???a?3??22和向量组（Ⅱ）等价，求?的取值，并将?3用?1,?2?3线性表示
4
??2?21??210??与B??0?10?相似， （21）（本题满分11分）已知矩阵A??2x?2???????00?2???00y??（1）求x,y；
（2）求可逆矩阵P使得P?1AP?B;
（22）（本题满分11分）设随机变量X与Y相互独立，X服从参数为1的指数分布，Y的概率分布为P?Y??1??p,P?Y?1??1?p.令Z?XY （1）求Z的概率密度；
（2）p为何值时，X与Z不相关；
（3）X与Z是否相互独立；
（23）（本题满分11分）设总体X的概率密度为
?A??x??2?2??,x?? f?x,?2????e?0,x???2其中?是已知参数，??0是未知参数，A是常数，X1,X2,K,Xn是来自总体X的简单随机样本，
（1）求A；
（2）求?2的最大似然估计量；
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