浙江省2014学年九年级数学竞赛试卷（含答案）

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2014学年九年级数学竞赛试卷

一、选择题（每小题5分，共30分）

1．已知a、b、c是两两不相等的实数．则方程（x－a）（x－b）+（x－b）（x－c）+（x－c）（x－a）=0根的情况为（ ）．

（A）必有两个不相等的实根 （B）没有实根

（C）必有两个相等的实根 （D）方程的根有可能取值a、b、c

2．已知m?1?2，n?1?2，且(7m2?14m?a)(3n2?6n?7)=8，则a的值等于（ ）

（A）－5 （B）5 （C）－9 （D）9

3．Rt△ABC的三个顶点A，B，C均在抛物线y?x2上，并且斜边AB平行于x轴．若斜边上的高为h，则（ ）

（A）h<1 （B）h=1 （C）12

4．钟面上的1~12这12个数字把圆周12等分，以其中任意4个等分点为顶点作四边形，其

中矩形的个数是（ ）

（A）10个 （B）14个 （C）15个 （D）30个

5．在△ABC中，AB

ACAEAG??2,=2 007，则边BC的长为（ ）． CDBDGD （A）2 008 （B）2 007 （C）2 006 （D）2 005 6．如图，以Rt△ABC的斜边BC为一边在△ABC的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O，连结AO，如果AB＝4，AO＝62，那么AC的长等于（ ） （A）12 （B）16 （C）43 （D）82 二、填空题（每小题5分，共30分） 7、已知a、b、c均为非零实数，满足：

FEABCOb?c?ac?a?b??aba?b?c(a?b)(b?c)(c?a)，则的值为_________． cabc- 1 -

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8、如图，面积为ab?c的正方形DEFG内接于面积为1的正三角形ABC，其中a，b，c为整数，且b不能被任何质数的平方整除，则

Aa?c的值等于 ． G

DbB9．函数y?2x2?4x?1的最小值是 ． 10、如图，两个全等的边长为正整数的正△A1B1C1和正△A2B2C2

EFC的中心重合，?且满足A1B1⊥A2C2，若六边形ABCDEF的面积为S=

m13，其中，m、n为有理数，则的值为_______． ?nmn11．正六边形轨道ABCDEF的周长为7.2米，甲、乙两只机器鼠分

别从A，C两点同时出发，均按A→B→C→D→E→F→A→…方向沿轨道奔跑，甲的速度为9.2厘米／秒，乙的速度为8厘米／秒，那么出发后经过___________秒钟时，甲、乙两只机器鼠第一次出现在同一条边上．

12．正整数M的个位上的数字与数20132015的个位上的数字相同，把M的个位上的数字移

到它的左边第一位数字之前就形成一个新的数N．若N是M的4倍，T是M的最小值，则T的各位数字之和等于___________． 三、解答题（每小题15分，共60分）

13．设a，b，c为互不相等的实数，且满足关系式

b2?c2?2a2?16a?14 ① bc?a2?4a?5 ②

求a的取值范围．

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14．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象G和x轴有且只有一个交点A，与y轴的交点为B

（0，4），且ac＝b．

（1）求该二次函数的解析表达式；

（2）将一次函数y＝－3x的图象作适当平移，使它经过点A，记所得的图象为L，图象

L与G的另一个交点为C，求△ABC的面积．

15．如图，M、N、P分别为△ABC三边AB、BC、CA的中点，

BP与MN、AN分别交于E、F， （1）求证：BF=2FP；

（2）设△ABC的面积为S，求△NEF的面积．

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A M F P E B

N

C

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16．从连续自然数1，2，3，…，2008中任意取n个不同的数．

（1）求证：当n＝1007时，无论怎样选取这n个数，总存在其中的4个数的和等于4017； （2）当n≤1006（n是正整数）时，上述结论成立否？请说明理由．

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