§3.2 几何证明及通过几何计算进行说理问题
初中数学总共学过多少个公式? A. 10个左右 B. 50个左右 C. 100个左右
D. 200个左右
大多数老师回答这个问题,中庸一点,选择100个左右.
如果不包含图形的周长、面积公式,不包含统计学中的公式,因为教材版本不同,初中数学就7个或8个公式.
代数公式有平方差公式、完全平方公式、一元二次方程的求根公式、两点间的距离公式、抛物线的顶点坐标公式、中点坐标公式.
几何公式有n边形的内角和公式、正n边形的中心角公式.
有人发问,a+b=c, x1+x2=-, x1x2=,难道不是公式吗?这些真的不是公式,是定理的数学表达式.初中数学,其实就这点事.
这一节的题目类型多,不方便细分.
常见的题目结构,三个小题可能属于不同类型,但是都相互关联.
例如第(1)小题进行一个确定的几何计算,或明确的几何证明.第(2)小题改变其中的一个条件,问上述结论是否依然成立.第(3)题把条件再一般化,通过计算或说理,探求上述结论是否依然成立.
这样的题目结构,在图形变换的题目中比较多,尤其是图形的旋转更多. 我们把图形旋转的性质复习一下:
性质1,图形在旋转的过程中,对应线段相等,对应角相等.这个性质好懂,就是全等三角形的对应边相等,对应角相等.
性质2,旋转角等于对应线段所在直线的夹角.这个性质往往被忽略,用了都说好. 如图1、图2、图3中,△ABC和△CDE都是等边三角形,那么直线AD和直线BE的夹角都是60°.这是为什么呢?
图形在变,不变的是旋转的性质,△BCE绕着点C顺时针旋转60°可以与△ACD重合,所以旋转角为60°.根据性质2,旋转角等于对应线段所在直线的夹角,可知对应线段AD与BE所在直线的夹角为60°.
2
2
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图1 图2 图3
例21 2017年河北省中考第25题
平面内,如图1,在平行四边形ABCD中,AB=10, AD=15, tan∠A=.点P为AD边上任意一点,连结PB,将PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ.
(1) 当∠DPQ=10°时,求∠APB的大小;
(2) 当tan∠ABP∶tan∠A=3∶2时,求点Q与点B间的距离(结果保留根号);
(3) 若点Q恰好落在平行四边形ABCD的边所在的直线上,直接写出PB旋转到PQ所扫过的面积(结果保留π).
图1 备用图
请打开几何画板文件名“17河北25”,拖动点P在AD上运动,可以体验到,点Q可以落在直线AD、 DC和BC上.
1. 第(1)题看似很简单,其实不简单.要分类讨论,备用图已经暗示了. 2. 第(2)题:在△PAB中,已知两角及夹边,作高设高就可以解决问题了. 3. 第(3)题就是求扇形的面积,圆心角是90°.
4. 第(3)题:分三种情况讨论,其中点Q落在直线AD和BC上,示意图可以准确画出来.点Q落在直线DC上,示意图不能准确画出来.
例22 2017年河南省中考第22题
如图1,在Rt△ABC中,∠A=90°, AB=AC,点D、 E分别在边AB、 AC上,AD=AE,连结DC,点M、 P、 N分别为DE、 DC、 BC的中点.
(1) 观察猜想 图1中,线段PM与PN的数量关系是 ,位置关系是 ; (2) 探究证明 把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置,连结MN、 BD、 CE,判断△PMN的形状,并说明理由;
(3) 拓展延伸 把△ADE绕点A在平面内自由旋转,若AD=4, AB=10,请直接写出△PMN面积的最大值.
图1 图2
请打开几何画板文件名“17河南22”,拖动点D绕点A旋转,观察左图,可以体验到,△ABD与△ACE保持全等,对应线段的夹角为90°, PM、 PN分别为两个三角形的中位线.观察右图,可以体验到,在△AMN中,AM和AN是定值,当点M落在NA的延长线上时,MN取得最大值,此时等腰直角三角形PMN的面积最大.
1. 图形在旋转的过程中,对应线段相等,对应线段所在直线的夹角等于旋转角. 2. 已知三个中点,不由得要想到三角形的中位线.
3. 要探求△PMN面积的最大值,首先这个三角形的形状是等腰直角三角形,只要探求斜边最大或者直角边最大就可以了.
例23 2017年江西省中考第23题
我们定义:如图1,在△ABC中,把AB绕点A顺时针旋转α(0°<α<180°)得到AB',把AC绕点A逆时针旋转β得到AC',连结B'C'.当α+β=180°时,我们称△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”,△AB'C'边B'C'上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”,点A叫做“旋补中心”.
特例感知 (1) 在图2、图3中,△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”,AD是△ABC的“旋补中线”.
① 如图2,当△ABC为等边三角形时,AD与BC的数量关系为AD= BC; ② 如图3,当∠BAC=90°, BC=8时,则AD长为 .
图1 图2
图3 图4
猜想论证 (2) 在图1中,当△ABC为任意三角形时,猜想AD与BC的数量关系,并给予证明.
拓展应用 (3) 如图4,在四边形ABCD中,∠C=90°, ∠D=150°, BC=12, CD=2 , DA=6.在四边形内部是否存在点P,使△PDC是△PAB的“旋补三角形”?若存在,给予证明,并求△PAB的“旋补中线”长;若不存在,说明理由.
请打开几何画板文件名“17江西23”,拖动点B'绕点A旋转,可以体验到,△C'EA与△ABC保持全等,AD等于BC的一半.点击屏幕左下方的按钮“第(3)题”,可以体验到,点P在AD和BC的垂直平分线的交点.
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