解答题滚动练5
1.(2017·北京)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA＝PD＝6，AB＝4.
(1)求证：M为PB的中点； (2)求二面角B－PD－A的大小；
(3)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值. (1)证明 设AC，BD交于点E，连接ME，如图.
因为PD∥平面MAC，平面MAC∩平面PDB＝ME， 所以PD∥ME.
因为四边形ABCD是正方形， 所以E为BD的中点， 所以M为PB的中点.
(2)解 取AD的中点O，连接OP，OE. 因为PA＝PD，所以OP⊥AD，
又因为平面PAD⊥平面ABCD，且OP?平面PAD， 所以OP⊥平面ABCD.
因为OE?平面ABCD，所以OP⊥OE. 因为四边形ABCD是正方形， 所以OE⊥AD.
如图，建立空间直角坐标系Oxyz，
则P(0，0，2)，D(2，0，0)，B(－2，4，0)，BD→＝(4，－设平面BDP的法向量n＝(x，y，z)， ?则??n·BD→＝0，
即?4x－4y＝0，??n·
PD→?＝0，?2x－2z＝0.
令x＝1，则y＝1，z＝2. 于是n＝(1，1，2).
平面PAD的法向量为p＝(0，1，0)，
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4，0)，PD→
＝(2，0，－2).
所以cos〈n，p〉＝
n·p1
＝. |n||p|2
由题意知二面角B－PD－A为锐角， π
所以它的大小为.
3
(3)解 由题意知M?－1，2，?
2?2→
，C(2，4，0)，MC＝?3，2，－?. 2?2??
设直线MC与平面BDP所成的角为α，则 →|n·MC|26→
sinα＝|cos〈n，MC〉|＝＝，
9→
|n||MC|
26
所以直线MC与平面BDP所成角的正弦值为.
9
2.(2017·安徽太和中学模拟)新一届班委会的7名成员有A，B，C三人是上一届的成员，现对7名成员进行如下分工.
(1)若正、副班长两职只能由A，B，C三人中选两人担任，则有多少种分工方案？ (2)若A，B，C三人不能再担任上一届各自的职务，则有多少种分工方案？
525解 (1)先确定正、副班长，有A23种选法，其余全排列有A5种，共有A3A5＝720(种)分工方
案.
(2)方法一 设A，B，C三人的原职务分别是a，b，c，当ABC任意一人都不担任abc职务
41124时有A3当ABC中一人担任abc中的职务时，有C3A2A4A4种；当ABC中两人担任abc4A4种；21144中的职务时，有3C3A4A1A4种；当ABC中三人担任abc中的职务时，有2A4故共有A34种；4A412421444＋C13A2A4A4＋3C3A4A4＋2A4＝134A4＝3216(种)分工方案.
6方法二 担任职务总数为A77种，当A担任原职务时有A6种，同理BC各自担任原职务时也5各自有A66种，而当AB，BC，CA同时担任原职务时各有A5种；当ABC同时担任原职务时76544有A44种，故共有A7－3A6＋3A5－A4＝134A4＝3216(种)分工方案.
3.已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an＋2，数列{bn}的前n项和为Sn，且Sn＝2－bn. (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)设cn＝anbn，求数列{cn}的前n项和Tn.
解 (1)因为a1＝1，an＋1－an＝2，所以{an}是首项为1，公差为2的等差数列， 所以an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.
又当n＝1时，b1＝S1＝2－b1，所以b1＝1， 当n≥2时，Sn＝2－bn， Sn－1＝2－bn－1，
① ②
bn1由①－②，得bn＝－bn＋bn－1，即＝，
bn－12
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1
所以{bn}是首项为1，公比为的等比数列，
21?n－1
故bn＝??2?.
2n－1
(2)由(1)知cn＝anbn＝n－1，则
22n－1135
Tn＝0＋1＋2＋…＋n－1，
2222
③ ④
2n－32n－1113
Tn＝1＋2＋…＋n－1＋n， 22222
2n－111222
③－④得Tn＝0＋1＋2…＋n－1－n
222222
1
1－n－122n－12n－12n＋311
＝1＋1＋＋…＋n－2－n＝1＋－n＝3－n. 221222
1－22n＋3
所以Tn＝6－n－1.
2
→→
4.已知椭圆的两个焦点为F1(－5，0)，F2(5，0)，M是椭圆上一点，若MF1·MF2＝0，→→|MF1|·|MF2|＝8. (1)求椭圆的方程；
(2)直线l过右焦点F2(5，0)(不与x轴重合)且与椭圆相交于不同的两点A，B，在x轴上是→→否存在一个定点P(x0，0)，使得PA·PB的值为定值？若存在，写出P点的坐标(不必求出定值)；若不存在，请说明理由.
解 (1)由题意，c＝5，|MF1|2＋|MF2|2＝4c2＝20，|MF1|·|MF2|＝8， →→
∴(|MF1|＋|MF2|)2＝|MF1|2＋|MF2|2＋2|MF1|·|MF2|＝36， 解得|MF1|＋|MF2|＝6，
即2a＝6，∴a＝3，b2＝a2－c2＝4， x2y2
∴椭圆的方程为＋＝1.
94
(2)方法一 设直线l的方程为x＝my＋5，
代入椭圆方程并消元整理得(4m2＋9)x2－185x＋45－36m2＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)是方程①的两个解，由根与系数的关系得 45－36m2185
x1＋x2＝2，x1x2＝，
4m＋94m2＋9
－1611
则y1y2＝2(x1－5)(x2－5)＝2[?x1x2－5?x1＋x2?＋5]＝2，
mm4m＋9
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①
→→PA·PB＝(x1－x0，y1)·(x2－x0，y2)＝(x1－x0)(x2－x0)＋y1y2＝x1x2－x0(x1＋x2)＋x20＋y1y2
22
45－36m2185－16?4x20－36?m＋9x0－185x0＋292＝－x＋x＋＝， 4m2＋94m2＋9004m2＋94m2＋9
→→222令PA·PB＝t，则(4x20－36)m＋9x0－185x0＋29＝t(4m＋9)，
2比较系数得4x20－36＝4t且9x0－185x0＋29＝9t，
112消去t得36x2－36×9＝36x－725x＋29×4，解得x＝5. 0000
911124→→
5，0?，使得PA·∴在x轴上存在一个定点P?PB的值为定值－. ?9?81
方法二 当直线与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x－5)(k≠0)，代入椭圆方程并消元整理得
(9k2＋4)x2－185k2x＋45k2－36＝0，
①
设A(x1，y1)，B(x2，y2)是方程①的两个解，由根与系数的关系得 45k2－36185k2
x1＋x2＝，x1x2＝，
4＋9k24＋9k2－16k2
y1y2＝k(x1－5)(x2－5)＝k[x1x2－5?x1＋x2?＋5]＝，
4＋9k22
2
→→PA·PB＝(x1－x0，y1)·(x2－x0，y2)＝(x1－x0)(x2－x0)＋y1y2＝x1x2－x0(x1＋x2)＋x20＋y1y2＝
22?9x20－185x0＋29?k＋4x0－36
，
4＋9k2→→222令PA·PB＝t，则(9x20－185x0＋29)k＋4x0－36＝t(4＋9k)，
29x20－185x0＋29＝9t，且4x0－36＝4t，
11124解得x0＝5，此时t的值为－.
981
44
5，－?，B?5，?，当直线l与x轴垂直时，l的方程为x＝5，代入椭圆方程，解得A?3?3? ??4?242016124→→?2
－5，?＝－＝－， PA·PB＝?－95，－3?·3?819??981124→→
∴当直线l与x轴垂直时，PA·PB也为定值－. 81
11124→→
5，0?，使得PA·综上，在x轴上存在一个定点P?PB的值为定值－. ?9?81
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