数学分析简明教程答案16

第十六章 偏导数与全微分

§1 偏导数与全微分的概念

1．求下列函数的偏导数： （1）u?xln(x?y)； （2）u?(x?y)cos(xy)； （3）u?arctan（4）u?xy?222y； xx； y；

（5）u?xyeysin(xy)（6）u?x?y．

x?u2xx222222解（1）?2xln(x?y)?x2?2x[ln(x?y)?2]；

?xx?y2x?y2?u2y2x2y2?x2?2 ． 22?xx?yx?y（2）

?u?cos(xy)?(x?y)(?sin(xy))y?cos(xy)?y(x?y)sin(xy)；由x，y的?x对称性，

?u?cos(xy)?x(x?y)sin(xy)． ?y（3）

?u??xyy1?u11x(?2)??2??； ． 222y2y?yxx?yxx?y1?()1?()2xx（4）

?u1?ux?y?， ?x?2． ?xy?yy（5）

?u?yesin(xy)?xyesin(xy)cos(xy)y?y(1?xycos(xy))esin(xy)，根据x，y的对?x称性，

?u?x(1?xycos(xy))esin(xy)． ?y?u?u?xylnx?xyx?1． ?yxy?1?yxlny； ?y?x（6）

2．设

1?22ysin,x?y?0,?22x?yf(x,y)??

?0,x2?y2?0．?考察函数在(0,0)点的偏导数．

解 lim?xf(0,0)f(?x,0)?f(0,0)0?0?lim?lim?0，即fx(0,0)?0，而

?x?0?x?0?x?0?x?x?x?y?0lim?yf(0,0)?y?lim?y?0f(0,?y)?f(0,0)?lim?y?0?y?ysin1?021?y不存在，?limsin?y?0?y(?y)2fy(0,0)不存在．

3．证明函数u?证明 显然u?x2?y2在(0,0)点连续但偏导数不存在． x2?y2在(0,0)点连续，但

?x(?x)2?0?xu(0,0) lim?lim?lim?x?0?x?0?x?0?x?x?x不存在，由对称性lim?yu(0,0)?y?y?0不存在，因而u?x2?y2在(0,0)点的两个偏导数均不

存在．

4．求下列函数的全微分：

（1）u?x2?y2?z2；

yz（2）u?xe?e?x?y．

222解（1）du?dx?y?z?12x2?y2?z2d(x2?y2?z2)

?1x?y?zxx?y?zyz222(xdx?ydy?zdz)

yx?y?z222 ?222dx?dy?zx?y?z222dz．

（2）du?d(xe?e?x?y)?eyzdx?xeyz(zdy?ydz)?e?xdx?dy

?(eyz?e?x)dx?(xzeyz?1)dy?xyeyzdz．

5．求下列函数在给定点的全微分： （1）u?xx?y22在点(1,0)和(0,1)；

（2）u?ln(x?y)在点(0,1)和(1,1)； （3）u?2zx在点(1,1,1)； yx在点(0,1)． y（4）u?x?(y?1)arcsin解（1）du?dxx2?y2dxx?y22?xd(1x2?y2x)?dxx2?y2?x12(x2?y2)3d(x2?y2)

??(x?y)223(xdx?ydy)?y2dx?xydy(x?y)x?y2222，

所以，在点(1,0)，du?0，在点(0,1)，du?dx．

（2）du?2y11(dx?2ydy)?dx?dy，在点(0,1)，du?dx?2dy；222x?yx?yx?y在点(1,1)，du?1dx?dy. 2111x1x?u1xz?1?uxxz?1?u??2()zln，所以， （3）?()，??2()，?zzyy?y?xyzyyzy1x?1xx?11xxdu?()zdx?2()zdy?2()zlndz，

yzyyyzyzy故在(1,1,1)有，du?dx?dy．

（4）函数的定义域为{(x,y):0?x?yor0?y?x}．当x?0时，有

111du?dx?arcsinxdy?(y?1)yydx?xdy 2yxx1?2yy11xx(1?y)sgny?)dy，

2y2yxy?x?(1?(y?1)sgny2xy?x2)dx?(arcsin而当x?0时，由于lim?x?0f(x,y)?f(0,y)y?1arcsinxy?lim?(1?)不存在，所以x?0xxyxyf(0,y??y)?f(0,y)0?lim?0，?y?0?y?y在(0,y)，fx(0,y)不存在，虽然fy(0,y)?lim?y?0但在点(0,y)，du不存在，因而u?x?(y?1)arcsin6. 考虑函数f(x,y)在(0,0)点的可微性，其中

x在点(0,1)不可微． y1?xysin,x2?y2?0,?22x?yf(x,y)??

?0,x2?y2?0．??xf(0,0)f(?x,0)?f(0,0)0?0解 因为lim所以fx(0,0)?0，?lim?lim?0，

?x?0?x?0?x?0?x?x?x由对称性，fy(0,0)?0．若函数f(x,y)在(0,0)可微，则按可微的定义，应有

f(?x,?y)?f(0,0)?[fx(0,0)?x?fy(0,0)?y]??x?ysin是比??1， 22?x??y?x2??y2更高阶的无穷小，为此考察极限

?x?ysin?x?0?y?0lim1?x2??y2??lim?x?y?x2??y2?x?0?y?0sin1， 22?x??y由于

122(?x??y)?x?y?x?y1， sin2??22222222?x??y?x??y?x??y?x??y所以，lim?x?y?x2??y2?x?0?y?0sin1?0，故f(x,y)在(0,0)可微． 22?x??y7．证明函数

?x2y22,x?y?0,?22f(x,y)??x?y

?0,x2?y2?0?在(0,0)点连续且偏导数存在，但在此点不可微．

x2yxy1证明 因为2?x??x，所以limf(x,y)?0?f(0,0)，即222x?02x?yx?yy?0f(x,y)在点(0,0)点连续，又

?xf(0,0)f(?x,0)?f(0,0)?lim?0，

?x?0?x?0?x?xlimlim?yf(0,0)?y?limf(0,?y)?f(0,0)?0，

?y?y?0?y?o所以，fx(0,0)?fy(0,0)?0．

若函数f(x,y)在(0,0)可微，则应有

?x2?y f(?x,?y)?f(0,0)?[fx(0,0)?x?fy(0,0)?y]?22(?x)?(?y)是比???x2??y2更高阶的无穷小量，为此考察极限

?x2?y?x2?ylim?lim，

223?x?0??x2??y2?x?0?y?0?y?0(?x??y)1令?y??x，当(?x,?y)沿直线?y??x趋于(0,0)时，lim?x2?y(?x2??y2)3?x?0?y??x?lim?x?0?x不?x?x2?y存在，即不是比?更高阶的无穷小量，因此f(x,y)在(0,0)不可微．

(?x)2?(?y)28．证明函数

1?22(x?y)sin,x2?y2?0,?22x?yf(x,y)??

?0,x2?y2?0?的偏导数存在，但偏导数在(0,0)点不连续，且在(0,0)点的任何邻域中无界，而f在原点

(0,0)可微．

111?2x(sin?cos),x2?y2?0,?222222x?yx?yx?y证明 fx(x,y)??

22?0,x?y?0,?