图2
2 324 3
在y=-x-x+2 3中,
33令y=0可求得x=-3或x=1, ∴C(-3,0),B(1,0). ∴AC=
-2+3
2
+2 3
2
=13,BC=4.
由翻折的性质可知AN=AC=13,
在Rt△AND中,DN=AN-AD=13-4=3, ∵OD=2 3,∴ON=2 3-3或ON=2 3+3.
当ON=2 3+3时,则CM=MN>ON>BC,与点M在线段BC上矛盾,不合题意, ∴N点坐标为(0,2 3-3).
当M点在y轴上时,则M与O重合,过N作NP⊥x轴于点P,如图3,
2
2
图3
在Rt△AMD中,AD=2,OD=2 3, ∴tan∠DAM==3.∴∠DAM=60°. ∵AD∥x轴,∴∠AMC=∠DAM=60°. 又由折叠可知∠NMA=∠AMC=60°, ∴∠NMP=60°,且MN=CM=3. 1333 3
∴MP=MN=,NP=MN=.
2222
MDAD?33 3?
∴此时N点坐标为?,?.
2??2
?33 3?
综上可知N点坐标为(0,2 3-3)或?,?.
2??2
(3)如图4,过F作对称轴的垂线FH,过A作AK⊥x轴于点K,
图4
则有AC∥EF且AC=EF, ∴∠ACK=∠EFH.
∠ACK=∠EFH,??
在△ACK和△EFH中,?∠AKC=∠EHF,
??AC=EF,∴△ACK≌△EFH(AAS). ∴FH=CK=1,HE=AK=2 3. ∵抛物线对称轴为x=-1, ∴F点的横坐标为0或-2. ∵点F在直线AB上,
?2 3?
∴当F点横坐标为0时,F的坐标为?0,?,此时点E在直线AB下方.
3??
2 34 3
∴E到y轴的距离为EH-OF=2 3-=,
334 34 3??
即E点纵坐标为-.∴E?-1,-?.
33??
当F点的横坐标为-2时,F与A重合,不合题意,舍去.
4 3???2 3?
综上可知存在满足条件的点F,此时E?-1,-?,F?0,?.
3?3???
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