第32讲
1．椭圆的概念椭圆
把平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫作椭圆．这两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点F1，F2间的距离叫作椭圆的焦距．椭圆定义用集合语言表示如下：P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数．在椭圆定义中，特别强调到两定点的距离之和要大于|F1F2|．当到两定点的距离之和等于|F1F2|时，动点的轨迹是线段F1F2；当到两定点的距离之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程x2y2＋＝1a2b2(a>b>0)y2x2＋＝1a2b2(a>b>0)图形范围对称性顶点性质轴焦距离心率a，b，c的关系－a≤x≤a－b≤y≤b对称轴：坐标轴A1(－a,0)，A2(a,0)B1(0，－b)，B2(0，b)－b≤x≤b－a≤y≤a对称中心：原点A1(0，－a)，A2(0，a)B1(－b,0)，B2(b,0)长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b|F1F2|＝2cce＝∈(0,1)ac2＝a2－b2
说明：当焦点的位置不能确定时，椭圆方程可设成Ax2＋By2＝1的形式，其中A，B是不相等的正常数，或设成3．椭圆中的弦长公式(1)若直线y＝kx＋b与椭圆相交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝11＋2|y1－y2|.kx2y2
＋2＝1(m2≠n2)的形式．2
mn2b2
(2)焦点弦(过焦点的弦)：最短的焦点弦为通径长，最长为2a.a[玩转典例]题型一例1椭圆的定义和标准方程)1(1)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率等于，则C的方程是(2x2y2
B.＋＝143x2y2
C.＋＝142x2y2
D.＋＝143x2y2
A.＋＝134(2)设P是椭圆答案解析(1)Dx2y2
＋＝1上的点，若F1、F2是椭圆的两个焦点，则△PF1F2的周长为________．2516(2)16c1x2y2
(1)由题意知c＝1，e＝＝，所以a＝2，b2＝a2－c2＝3.故所求椭圆方程为＋＝1.a243(2)△PF1F2的周长为|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝2a＋2c＝10＋6＝16.[玩转跟踪]x2y2
1．(广东，8)已知椭圆＋2＝1(m>0)的左焦点为F1(－4，0)，则m＝(25mA．2解析答案B．3C．4D．9)由题意知25－m2＝16，解得m2＝9，又m>0，所以m＝3.B3x2y2
2．(大纲全国，9)已知椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为，ab3过F2的直线l交C于A、B两点．若△AF1B的周长为43，则C的方程为(x2y2
A.＋＝132x2y2
C.＋＝1128解析c3由已知e＝＝，a3x22
B.＋y＝13x2y2
D.＋＝1124)又△AF1B的周长为|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝|AF1|＋(|AF2|＋|BF2|)＋|BF1|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF2|＋|BF1|)＝2a＋2a＝43，解得a＝3，故c＝1，b＝a2－c2＝2，x2y2
故所求的椭圆方程为＋＝1，故选A.32答案A13．(广东，9)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率等于，则C的方程是2()x2y2
A.＋＝134x2y2
C.＋＝142解析答案x2y2
B.＋＝143x2y2
D.＋＝143c11x2y2
由题意，得c＝1，e＝＝＝，所以a＝2，b2＝3，所以椭圆的方程为＋＝1.aa243D椭圆的几何性质题型二例2x2y2
已知椭圆2＋2＝1(a>b>0)的两焦点为F1、F2，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好ab平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为________．答案解析3－1设过左焦点F1的正三角形的边交椭圆于A，则|AF1|＝c，|AF2|＝3c，有2a＝(1＋3)c，2c∴e＝＝＝3－1.a1＋3[玩转跟踪]x2y21．(四川，9)从椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点
abF1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是(A.24
B.12
C.22
D.
)32
解析
b2bb2由题意可得P(－c，)，A(a，0)，B(0，b)由AB∥OP，得－＝－，化
aaac
c2
简，得b＝c，所以离心率e＝＝.
a2答案
C
x2y22．(新课标全国Ⅱ，5)设椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、
abF2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为(A.36
B.13
C.12
D.33
)
解析
如图所示，在Rt△PF1F2中，|F1F2|＝2c.
设|PF2|＝x，则|PF1|＝2x，
|PF2|x323
c.由tan30°＝＝＝，得x＝
|F1F2|2c33
而由椭圆定义得，|PF1|＋|PF2|＝2a＝3x，3∴a＝x＝3c，
2c3c＝.∴e＝＝a3c3答案
D
x2y23．(辽宁，11)已知椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，C与过原点的直
ab4线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|＝10，|BF|＝8，cos∠ABF＝，则C
5的离心率为(A.35
B.57)
C.45
D.67
解析
设椭圆的右焦点为F1，由余弦定理，得|AF|2＝|AB|2＋|BF|2－2|AB||BF|·cos
∠ABF＝36，则有|AF|＝6，故∠AFB＝90°，由椭圆的对称性知四边形FAF1B为矩形，则有|BF|＋|BF1|＝8＋6＝14＝2a，即a＝7，|FF1|＝|AB|＝10＝2c，即c＝5，c5则C的离心率为e＝＝.a7答案
题型三例3B
直线与椭圆的位置关系x2y2
过椭圆＋＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原5453由题意知椭圆的右焦点F的坐标为(1，0)，则直线AB的方程为y＝2x－2.联立点，则△OAB的面积为________．答案解析x2y2
＋＝154114554，解得交点A(0，－2)，B(，)，∴S△OAB＝·|OF|·|yA－yB|＝×1×|－2－|＝.332233y＝2x－2[玩转跟踪]1．已知椭圆A.12x2y2
＋＝1以及椭圆内一点P(4,2)，则以P为中点的弦所在直线的斜率为(369B．－12C．2D．－2)答案解析B设弦的端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，y2x21＋1＝1，369两式相减，则x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，x2y22＋2＝1，369?x1＋x2??x1－x2??y1＋y2??y1－y2?得＋＝0，369y1－y22?x1－x2?4?y1－y2?1∴＝－，∴k＝＝－.299x1－x2说明：本题也可以直接利用结论：k＝－9×4b2x01＝－.＝－a2y0236×2[玩转练习]x2y231．已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交Cab3于A、B两点．若△AF1B的周长为43，则C的方程为(x2y2
A.＋＝132答案A解析由e＝3c3，得＝①.又△AF1B的周长为43，由椭圆定义，得4a＝43，得a＝3，3a3x2
B.＋y2＝13C.x2y2
＋＝1128)D.x2y2
＋＝1124代入①得c＝1，x2y2
∴b＝a－c＝2，故C的方程为＋＝1.322
2
2
x2y2
2.椭圆Γ：2＋2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y＝3(x＋c)ab与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于__________．答案解析3－1∵直线y＝3(x＋c)过左焦点F1，且其倾斜角为60°，∴∠MF1F2＝60°，∠MF2F1＝30°，∴∠F1MF2＝90°，即F1M⊥F2M.
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