江苏省如皋中学2019～2020学年度高三年级第二学期期初调研测试
数 学 Ⅰ 试 题
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上． 1． 已知(1?i)z?1?i（i为虚数单位），则复数z的模为 ▲ ．
2． 已知集合A??1，-2?，B??a,a2?，若AIB??1?,则实数a的值为 ▲ ．
3． 已知某校高一、高二、高三年级分别有1000、800、600名学生，现计划用分层抽样方法在各年级共抽
取120名学生去参加社会实践，则在高一年级需抽取 ▲ 名学生．
4． 从甲、乙、丙、丁四名同学中任意抽取两名同学参加安全知识竞赛，则同学甲被抽到且乙抽不到的概
率为 ▲ ．
5． 某程序框图如右图所示，当输入x?7时，输出的y? ▲ ．
x2y26． 已知双曲线?2?1的两条渐近线与直线x?3围成正三角形，则双曲线的离心率
3b为 ▲ ．
?x?0,?
7． 已知变量x,y满足约束条件?y?0，则y?2x的最大值为 ▲ ．
?x?y?2，?
?18． 已知?为锐角，且cos(??)?，则sin?? ▲ ．
639． 已知正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中AB?2,AA1?3，O为上底面中心．设正四棱柱ABCD?A1B1C1D1与正
四棱锥O?A1B1C1D1的侧面积分别为S1,S2，则
S2? ▲ ． S110．已知等比数列?an?的前n项和为Sn，且S4?2S3+1,2a4?2a3?3a2?2，则a1? ▲ ．
11．已知圆C：x2?y2?4x?2y?0，过点P(6,0)的直线l与圆C在x轴上方交于A,B两点，且PA?3PB，
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则直线l的斜率为 ▲ ．
211112．若x?2,y?0，且??1，则最小值为 ▲ ． ?xyx?2y?1uuuruuur13．已知?ABC中，AB?2,AC?1，平面ABC上一点D满足BC?AD??3，则
uuuruuuruuurBC?(BD?CD)? ▲ ．
14．已知f(x)?x3?3a2x?a，若存在x???1,1?，使得f(x)?0成立，则实数a的取值范围
为 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过．．．．．．．
程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)
?x已知f(x)?4sinxsin2(?)?cos2x．
42（1）求函数的最小正周期；
????（2）求函数g(x)?f(2x?),x??0,?的值域．
6?2?
16．(本小题满分14分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，面PAD?面ABCD，三角形PAD为正三角形． （1）若E,F为PB,CD中点，证明：EF//面PAD； （2）若?PAB?90?，证明：面PAD?面PAB．
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17． (本小题满分14分)
xy过椭圆??1上一点P(?2,?1)作两条直线l1,l2与椭圆另交于A,B点，设它们的斜率分别为k1,k2．
8222（1）若k1?1,k2??1，求?PAB的面积S?PAB； （2）若OA?OB,PA?PB，求直线AB的方程．
18． (本小题满分16分)
从秦朝统一全国币制到清朝末年，圆形方孔铜钱（简称“孔方兄”）是我国使用时间长达两千多年的货币。如图1，这是一枚清朝同治年间的铜钱，其边框是由大小不等的两同心圆围成的，内嵌正方形孔的中心与同心圆圆心重合，正方形外部，圆框内部刻有四个字“同治重宝”。某模具厂计划仿制这样的铜钱作为纪念品，其小圆内部图纸设计如图2所示，小圆直径1厘米，内嵌一个大正方形孔，四周是四个全等的小正方形（边长比孔的边长小），每个正方形有两个顶点在圆周上，另两个顶点在孔边上，四个小正方形内用于刻铜钱上的字．设?OAB??，五个正方形的面积和为S． （1）求面积S关于?的函数表达式，并求tan?的范围； （2）求面积S最小值． 图
1
图2
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ABO19． (本小题满分16分)
若函数y?f(x)的图像上存在两个不同的点关于y轴对称，则称函数y?f(x)图像上存在一对“偶点”．
（1）写出函数f(x)?sinx图像上一对“偶点”的坐标；（不需写出过程）
（2）证明：函数g(x)?ln(x?2)?x?2图像上有且只有一对“偶点”；
（3）若函数h(x)?ex?mx?2(m?R)图像上有且只有一对“偶点”，求m的取值范围．
20． (本小题满分16分)
已知数列?an?,?bn?,?cn?满足：bn?an?2?an，cn?an?3an?1?2an?2．
（1）若?bn?是等差数列，且公差d?b1?a1?a2?1，求数列?cn?的通项公式cn；
（2）若?bn?、?cn?均是等差数列，且数列?cn?的公差d?3a1?6,c1?19，求数列?an?的通项公式．
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